Nyckelbegrepp
Matematik
Sannolikhet
Statistik
Introduktion
Har du någonsin lagt märke till hur ibland det som verkar logiskt visar sig vara falskt med lite matte? Till exempel, hur många tror du att det krävs för att i genomsnitt undersöka två personer som delar samma födelsedag? På grund av sannolikheten är det ibland mer troligt att en händelse inträffar än vad vi tror. I det här fallet, om du undersöker en slumpmässig grupp på bara 23 personer, är det faktiskt ungefär 50–50 chans att två av dem får samma födelsedag. Detta är känt som födelsedagsparadoxen. Tror du inte att det är sant? Du kan testa det och se matematisk sannolikhet i aktion!
Bakgrund
Födelsedagsparadoxen, även känd som födelsedagsproblemet, säger att det i en slumpmässig grupp på 23 personer är cirka 50 procents chans att två personer har samma födelsedag. Är det verkligen sant? Det finns flera anledningar till att detta verkar vara en paradox. Det ena är att om man i ett rum med 22 andra personer jämför sin födelsedag med de andra folks födelsedagar skulle det bara göra 22 jämförelser – bara 22 chanser för människor att dela samma födelsedag.
Men när alla 23 födelsedagar jämförs mot varandra, gör det mycket mer än 22 jämförelser. Hur mycket mer? Tja, den första personen har 22 jämförelser att göra, men den andra personen jämfördes redan med den första personen, så det finns bara 21 jämförelser att göra. Den tredje personen har sedan 20 jämförelser, den fjärde personen har 19 och så vidare. Om du summerar alla möjliga jämförelser (22 + 21 + 20 + 19 + … +1) är summan 253 jämförelser eller kombinationer. Följaktligen involverar varje grupp på 23 personer 253 jämförelser eller 253 chanser att matcha födelsedagar.
Material
• Grupper om 23 eller fler personer (10 till 12 sådana grupper) eller en källa med slumpmässiga födelsedagar (se Förberedelse nedan för tips)
• Papper och penna eller penna
• Kalkylator (valfritt)
Förberedelse
• Samla födelsedagar för slumpmässiga grupper om 23 eller fler personer. Helst bör du få 10 till 12 grupper om 23 personer eller fler så att du har tillräckligt med olika grupper att jämföra. (Du behöver inte året för födelsedagarna, bara månaden och dagen.)
• Tips: Här är några sätt att hitta ett antal slumpmässigt grupperade personer: Be skollärare skicka en lista runt varje av sina klasser för att samla födelsedagar för elever i klassen (de flesta skolor har cirka 25 elever i en klass); använda födelsedagar för spelare på basebollag i major league (denna information kan lätt hittas på Internet); eller använda födelsedagar av andra slumpmässiga personer som använder onlinekällor.
Procedur
• För varje grupp med 23 eller fler födelsedagar som du samlat in, sortera genom dem för att se om det finns några födelsedagsmatcher i varje grupp.
• Hur många av dina grupper har två eller flera personer med samma födelsedag? Baserat på födelsedagsparadoxen, hur många grupper skulle du förvänta dig att hitta som har två personer med samma födelsedag? Går födelsedagsparadoxet sant?
• Extra: I detta aktivitet använde du en grupp på 23 eller fler personer, men du kan prova den med större grupper använd en grupp på 366 personer – det största antalet dagar per år kan ha – oddsen att två personer har samma födelsedag är 100 procent (exklusive födelsedagar den 29 februari), men vad tror du att oddsen är i en grupp av 60 eller 75 personer?
• Extra: Att tärna är ett utmärkt sätt att undersöka sannolikheten. Du kan prova att kasta tre tio-sidiga tärningar och fem sex-sidiga tärningar 100 gånger vardera och registrera resultatet av varje kast. Beräkna den matematiska sannolikheten att få en summa högre än 18 för varje kombination av tärningar när du kastar dem 100 gånger. (Denna webbplats kan lära dig hur man beräknar sannolikhet: Probability Central från Oracle ThinkQuest.) Vilken kombination har högre matematisk sannolikhet, och var det sant när du rullade dem?
Observationer och resultat
Gjorde cirka 50 procent av grupperna om 23 personer eller fler inkluderar minst två personer med samma födelsedagar?
När man jämför sannolikheter med födelsedagar kan det vara lättare att titta på sannolikheten att människor inte delar en födelsedag. En persons födelsedag är en av 365 möjligheter (exklusive 29 februari födelsedagar). Sannolikheten att en person inte har samma födelsedag som en annan person är 364 dividerat med 365 eftersom det finns 364 dagar som inte är en persons födelsedag . Detta innebär att två personer har 364/365, eller 99,726027 procent, chans att inte matcha födelsedagar.
Som nämnts tidigare finns det i en grupp på 23 personer 253 jämförelser eller kombinationer som kan bli gjord. Så vi tittar inte bara på en jämförelse utan på 253 jämförelser. Var och en av 253-kombinationerna har samma odds, 99,726027 procent, för att inte vara en matchning. Om du multiplicerar 99,726027 procent med 99.726027 253 gånger, eller beräkna (364/365) 253, kommer du att hitta en chans på 49,952 procent att alla 253 jämförelser inte innehåller några matchningar. Följaktligen är oddsen för att det finns en födelsedagsmatch i dessa 253 jämförelser 1 – 49,952 procent = 50,048 procent, eller drygt hälften! Ju fler försök du kör, desto närmare borde den faktiska sannolikheten närma sig 50 procent.
Mer att utforska
”Förstå födelsedagsparadoxen” från BetterExplained
”Probability Central” från Oracle ThinkQuest
”Kombinationer och permutationer” från MathIsFun och ”The Birthday Paradox” från Science Buddies
Denna aktivitet gav dig i samarbete med Science Buddies