Sammansatt ränta

Periodisk sammansättning Redigera

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P ”= P \ vänster (1 + {\ frac {r} {n}} \ höger) ^ {nt}}

där:

P är den ursprungliga huvudsumman P” är den nya huvudsumman r är den nominella årliga räntan n är sammansättningsfrekvensen t är den totala tid som räntan tillämpas (uttryckt med samma tidsenheter som r, vanligtvis år).

Den totala sammansatta räntan som genereras är det slutliga värdet minus det ursprungliga huvudbeloppet:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ höger) ^ {nt} -P}

Exempel 1Redigera

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P ”= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Så den nya huvudmannen P {\ displaystyle P ”} efter 6 år är cirka 1 938,84 USD.

Att subtrahera det ursprungliga kapitalbeloppet från detta belopp ger den erhållna räntan:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Exempel 2Redigera

P ′ = 1500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P ”= 1 \, 500 \ gånger \ kvar (1+ ( 0,043 \ gånger 2) \ höger) ^ {\ frac {6} {2}} \ ca 1 \, 921,24}

Så är balansen efter 6 år cirka 1 921,24 dollar.

Beloppet erhållen ränta kan beräknas genom att subtrahera huvudbeloppet från detta belopp.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Intresset är mindre jämfört med föregående fall, till följd av den lägre blandningsfrekvensen.

AckumuleringsfunktionRedigera

Eftersom princip P är helt enkelt en koefficient, det tappas ofta för enkelhetens skull och den resulterande ackumuleringsfunktionen används istället. Ackumuleringsfunktionen visar vad $ 1 växer till efter en längre tid.

Ackumuleringsfunktioner för enkel och sammansatt ränta är

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Om nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, är dessa två funktioner samma.

Kontinuerlig sammansättningEdit

Som n , antalet sammansättningsperioder per år, ökar utan begränsning, fallet kallas kontinuerlig sammansättning, i vilket fall den effektiva årliga hastigheten närmar sig en övre gräns på er – 1, där e är en matematisk konstant som är basen för det naturliga logaritm.

Kontinuerlig sammansättning kan betraktas som att göra sammansättningsperioden oändligt liten, uppnås genom att ta gränsen när n går till oändligheten. Se definitioner av den exponentiella funktionen för det matematiska beviset på denna gräns. Mängden efter t perioder av kontinuerlig sammansättning kan uttryckas i termer av den initiala mängden P0 som

P (t) = P0 e rt. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Intressekraft Redigera

Eftersom antalet sammansättningsperioder n {\ displaystyle n} når oändlighet i kontinuerlig sammansättning, den kontinuerliga sammansatta räntan kallas räntekraften δ {\ displaystyle \ delta}.

I matematik uttrycks ackumuleringsfunktionerna ofta i termer av e, basen för den naturliga logaritmen. Detta underlättar användningen av kalkyl för att manipulera ränteformler.

För varje kontinuerligt differentierbar ackumuleringsfunktion är a (t), intressekraften eller mer generellt den logaritmiska eller kontinuerligt sammansatta avkastningen en funktion av tid definierad som följer:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a ”(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Detta är det logaritmiska derivatet av ackumuleringsfunktionen.

Omvänt:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (eftersom a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; detta kan ses som ett särskilt fall av en produktintegral).

När formeln ovan skrivs i differentiell ekvationsformat är intressekraften helt enkelt koefficienten för mängd förändring:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

För sammansatt ränta med en konstant årlig ränta r, räntekraften är en konstant t, och ackumuleringsfunktionen för sammansatt ränta i termer av intressekraft är en enkel effekt av e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } eller a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Räntan är mindre än den årliga effektiva räntan, men mer än den årliga effektiva rabatten Betygsätta. Det är det ömsesidiga av e-vikningstiden. Se även notering av räntesatser.

Compounding basisEdit

För att konvertera en ränta från en sammansatt bas till en annan sammansättningsbas, använd

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

wherer1 är räntan med sammansatt frekvens n1, andr2 är räntan med sammansatt frekvens n2.

När intresset kontinuerligt sammansätts använder du

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ till höger)},}

där δ {\ displaystyle \ delta} är räntan på kontinuerlig sammansättningsbasis, ochr är den angivna räntan med en sammansättningsfrekvens n.

Månatligt amorterat lån eller inteckning paymentsEdit

Räntan på lån och hypotekslån som skrivs av – det vill säga ha en smidig månatlig betalning tills lånet har betalats av – sammansätts ofta varje månad. Formeln för betalningar finns från följande argument.

Exakt formel för månadsbetalning Redigera

En exakt formel för den månatliga betalningen (c {\ displaystyle c}) är

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}

eller motsvarande

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

där:

c {\ displaystyle c} = månadsbetalning P {\ displaystyle P} = huvudr {\ displaystyle r} = månatlig ränta n {\ displaystyle n} = antal betalningsperioder

Detta kan härledas genom att överväga hur mycket som återstår att återbetala efter varje månad.
Huvudmannen som återstår efter den första månaden är

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

det vill säga initialt belopp plus ränta minus betalningen.
Om hela lånet betalas tillbaka efter en månad

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, så P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Efter den andra månaden finns P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} kvar, så

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Om hela lånet återbetalades efter två månader,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, så P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

som kan ordnas om för att ge

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Kalkylformel

I kalkylblad är PMT ( ) -funktionen används. Syntaksen är:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Se Excel, Mac-nummer, LibreOffice, Open Office, Google Sheets för mer information.

Till exempel för ränta på 6% (0,06 / 12), 25 år * 12 pa, PV på $ 150 000, FV på 0, typ av 0 ger:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Ungefärlig formel för månadsbetalning Redigera

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

vilket föreslår att man definierar hjälpvariabler

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Här är c 0 {\ displaystyle c_ {0}} den månatliga betalning som krävs för ett nollräntelån som betalats in i n {\ displaystyle n} avbetalningar. När det gäller dessa variabler kan approximationen skrivas

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funktionen f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} är jämn:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

vilket innebär att den kan utvidgas i jämna krafter av Y {\ displaystyle Y}.

Det kommer att visa sig bekvämt att definiera

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

så att

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

som kan utökas:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ höger)}

där ellipserna anger termer som är högre ordning i jämna styrkor för X {\ displaystyle X}. Expansionen

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ höger)}

är giltigt till mer än 1% förutsatt att X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Exempel på betalning av inteckning Redigera

För en inteckning på 10 000 $ med löptid på 30 år och en noteringsränta på 4,5%, betalas årligen, finner vi:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

vilket ger

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

så att

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + .675 + .675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investering: månatliga insättningar Redigera

Med tanke på en huvudsaklig (initial) insättning och en återkommande insättning kan den totala avkastningen för en investering beräknas via den sammansatta räntan som erhållits per tidsenhet. Vid behov kan ränta på ytterligare engångs- och återkommande insättningar också definieras inom samma formel (se nedan).

P {\ displaystyle P} = Huvudinsättning r {\ displaystyle r} = Avkastning ( månadsvis) M {\ displaystyle M} = Månadsinsättning och t {\ displaystyle t} = Tid, i månader M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Om två eller flera typer av insättningar inträffar (antingen återkommande eller icke-återkommande), är föreningen intjänad ränta kan representeras som

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} där C och k är engångs- respektive återkommande insättningar, och x och y är tidsskillnaderna mellan en ny insättning och vilken variabel som helst t {\ displaystyle t} modellerar.