Biografi
Srinivasa Ramanujan var ett av Indiens största matematiska genier. Han gjorde betydande bidrag till den analytiska teorin om tal och arbetade med elliptiska funktioner , fortsatte fraktioner och oändliga serier.
Ramanujan föddes i sin mormors hus i Erode, en liten by cirka 400 km sydväst om Madras (nu Chennai). När Ramanujan var ett år gammal tog hans mor honom till staden Kumbakonam, cirka 160 km närmare Madras. Hans far arbetade i Kumbakonam som kontorist i en tyghandlares butik. I december 1889 fick han smittkoppor.
När han var nästan fem år gammal gick Ramanujan in i grundskolan i Kumbakonam även om han skulle gå på flera olika grundskolor innan in i Town High School i Kumbakonam i januari 1898. På Town High School skulle Ramanujan göra det bra i alla sina skolämnen och visade sig vara en skicklig forskare. 1900 började han arbeta på egen hand med matematik som sammanfattade geometriska och aritmetiska serier.
Ramanujan visades hur man löser kubiska ekvationer 1902 och han fortsatte med att hitta sin egen metod för att lösa kvartiken. Året därpå, utan att veta att kvintiken inte kunde lösas av radikaler, försökte han (och naturligtvis misslyckades) att lösa kvintiken.
Det var i Town High School som Ramanujan stötte på en matematikbok av GS Carr som heter Synopsis of elementary results in pure mathematics. Denna bok med sin mycket kortfattade stil tillät Ra manujan att lära sig själv matematik, men bokens stil var att ha en ganska olycklig effekt på det sätt som Ramanujan senare skulle skriva ner matematik eftersom det gav den enda modellen han hade av skrivna matematiska argument. Boken innehöll satser, formler och korta bevis. Den innehöll också ett index över artiklar om ren matematik som hade publicerats i de europeiska tidskrifterna för lärda samhällen under första hälften av 1800-talet. Boken, som publicerades 1886, var naturligtvis väl inaktuell när Ramanujan använde den.
År 1904 hade Ramanujan börjat göra djupgående undersökningar. Han undersökte serien ∑ (1n) \ sum (\ large \ frac {1} {n} \ normalsize) ∑ (n1) och beräknade Eulers konstant till 15 decimaler. Han började studera Bernoulli-siffrorna, även om detta var helt hans egen oberoende upptäckt.
Ramanujan, på styrkan av hans goda skolarbete, fick ett stipendium till Government College i Kumbakonam som han började 1904. Men året därpå förlängdes hans stipendium inte för att Ramanujan ägde mer och mer av sin tid till matematik och försummade sina andra ämnen. Utan pengar var han snart i svårigheter och utan att berätta för sina föräldrar sprang han iväg till staden Vizagapatnam cirka 650 km norr om Madras. Han fortsatte dock sitt matematiska arbete och vid den här tiden arbetade han med hypergeometriska serier och undersökte förhållandet mellan integraler och serier. Han skulle senare upptäcka att han hade studerat elliptiska funktioner.
1906 åkte Ramanujan till Madras där han gick in i Pachaiyappas högskola. Hans mål var att klara den första konstundersökningen som skulle göra det möjligt för honom att bli antagen till University of Madras. Han deltog i föreläsningar vid Pachaiyappa College men blev sjuk efter tre månaders studier. Han tog examen i första konsten efter att ha lämnat kursen. Han gick i matematik men misslyckades med alla sina andra ämnen och misslyckades därför med examen. Detta innebar att han inte kunde gå in i universitetet i Madras. Under de följande åren arbetade han med matematik med att utveckla sina egna idéer utan hjälp och utan någon verklig uppfattning om de dåvarande forskningsämnena än de som Carrs bok tillhandahåller.
Fortsätter sitt matematiska arbete Ramanujan studerade fortsatta fraktioner och divergerande serier 1908. I detta skede blev han allvarligt sjuk igen och genomgick en operation i april 1909, varefter han tog honom lite tid att återhämta sig. Han gifte sig den 14 juli 1909 när hans mor ordnade att han skulle gifta sig med en tioårig tjej S Janaki Ammal. Ramanujan bodde dock inte med sin fru förrän hon var tolv år gammal.
Ramanujan fortsatte att utveckla sina matematiska idéer och började ställa problem och lösa problem i Journal of the Indian Mathematical Society. Han utvecklade relationerna mellan elliptiska modulekvationer 1910. Efter publicering av ett lysande forskningsarbete om Bernoulli-nummer 1911 i Journal of the Indian Mathematical Society fick han erkännande för sitt arbete. Trots sin brist på universitetsutbildning blev han välkänd i Madras-området som ett matematiskt geni.
1911 kontaktade Ramanujan grundaren av det indiska matematiska samhället för råd om ett jobb. Efter detta utnämndes han till sitt första jobb, en tillfällig tjänst i räkenskapsförarens kontor i Madras. Det föreslogs då att han skulle närma sig Ramachandra Rao som var samlare vid Nellore.Ramachandra Rao var en grundare av Indian Mathematical Society som hade hjälpt till att starta matematikbiblioteket. Han skriver i: –
En kort otydlig gestalt, stout, orakad, inte för ren, med ett iögonfallande särdrag-lysande ögon – gick in med en sliten anteckningsbok under armen. Han var eländigt fattig. … Han öppnade sin bok och började förklara några av sina upptäckter. Jag såg med en gång att det fanns något ur vägen; men min kunskap tillät mig inte att bedöma om han pratade vettigt eller nonsens. … Jag frågade honom vad han ville. Han sa att han ville ha lite pengar att leva på så att han kunde bedriva sina undersökningar.
Ramachandra Rao bad honom att återvända till Madras och han försökte, utan framgång, ordna ett stipendium till Ramanujan. År 1912 ansökte Ramanujan om tjänsten som kontorist i Madras hamnförtroende. I sitt ansökningsbrev skrev han: –
Jag har klarat examen och studerat fram till första konsten men hindrades från att fortsätta mina studier på grund av flera ofördelaktiga omständigheter. Jag har dock ägnat hela min tid åt matematik och utvecklat ämnet.
Trots att han inte hade någon universitetsutbildning var Ramanujan tydligt välkänd för universitetsmatematikerna i Madras för med sin ansökningsbrev inkluderade Ramanujan en referens från EW Middlemast som var professor i matematik vid The Presidency College i Madras. Middlemast, examen från St Johns College, Cambridge, skrev: –
Jag kan starkt rekommendera den sökande. Han är en ung man med mycket exceptionell kapacitet inom matematik och särskilt i arbete relaterar till siffror. Han har en naturlig förmåga att beräkna och är mycket snabb på figurarbete.
På grund av rekommendationen utnämndes Ramanujan till tjänsteman och började sin tjänst 1 mars 1912. Ramanujan var ganska lycklig att få ett antal personer som arbetade runt honom med en utbildning i matematik. Faktum är att huvudbokföraren för Madras Port Trust, SN Aiyar, utbildades som matematiker och publicerade en uppsats om distributionen av premiär 1913 på Ramanujans arbete. Professor i civilingenjör vid Madras Engineering College CLT Griffith var också intresserad av Ramanujans förmågor och, efter att ha utbildats vid University College London, kände han professor i matematik där, nämligen MJM Hill. Han skrev till Hill den 12 november 1912 och skickade en del av Ramanujans arbete och en kopia av hans 1911-artikel om Bernoulli-nummer.
Hill svarade på ett ganska uppmuntrande sätt men visade att han inte hade förstått Ramanujans resultat om olika serier. Rekommendationen till Ramanujan att han läste Bromwichs teori om oändliga serier gillade Ramanujan inte mycket. Ramanujan skrev till E W Hobson och H F Baker och försökte intressera dem för hans resultat men ingen svarade. I januari 1913 skrev Ramanujan till GH Hardy efter att ha sett en kopia av sin bok Order of infinity från 1910. I Ramanujans brev till Hardy presenterade han sig själv och sitt arbete: –
Jag har inte haft någon universitetsutbildning men jag har genomgått den ordinarie skolkursen. Efter att ha lämnat skolan har jag använt fritid till mitt förfogande för att arbeta med matematik. Jag har inte gått igenom den konventionella ordinarie kursen som följs på en universitetskurs, men jag slår ut en ny väg för mig själv. Jag har gjort en speciell undersökning av olika serier i allmänhet de resultat jag får kallas av de lokala matematikerna som ”häpnadsväckande”.
Hardy, tillsammans med Littlewood, studerade den långa listan över beprövade satser som Ramanujan bifogade sitt brev. Den 8 februari han svarade på Ramanujan, brevet började: –
Jag var mycket intresserad av ditt brev och av de satser som du anger. Du kommer dock att förstå det innan jag kan bedöma ordentligt om värdet av vad du har gjort, är det viktigt att Jag borde se bevis på några av dina påståenden. Dina resultat tycks för mig falla i ungefär tre klasser:
(1) det finns ett antal resultat som redan är kända eller lätt kan härledas från kända satser;
(2) det finns resultat som, så långt som Jag vet, är nya och intressanta, men intressanta snarare från deras nyfikenhet och uppenbara svårigheter än deras betydelse.
(3) det finns resultat som verkar vara nya och viktiga …
Ramanujan var mycket nöjd med Hardys svar och när han skrev igen sa han: –
Jag har hittat en vän i dig som betraktar mitt arbete sympatiskt … Jag är redan en halv svältande man. För att bevara min hjärna vill jag ha mat och det här är mitt första övervägande. Alla sympatiska brev från dig kommer att vara till hjälp för mig här för att få ett stipendium antingen från universitetet från regeringen.
University of Madras gav faktiskt Ramanujan ett stipendium i maj 1913 i två år och 1914 förde Hardy Ramanujan till Trinity College, Cambridge, för att inleda ett extraordinärt samarbete. Att sätta upp detta var inte lätt. Ramanujan var en ortodox brahmin och så var en strikt vegetarian. Hans religion borde ha hindrat honom från att resa men denna svårighet övervinndes, delvis av EH Nevilles arbete som var en kollega till Hardys vid Trinity College och som träffade Ramanujan medan han föreläste i Indien.
Ramanujan seglade från Indien vidare 17 mars 1914. Det var en lugn resa förutom tre dagar där Ramanujan var sjuksjuk. Han anlände till London den 14 april 1914 och möttes av Neville. Efter fyra dagar i London åkte de till Cambridge och Ramanujan tillbringade ett par veckor i Nevilles hem innan han flyttade in i rum i Trinity College den 30 april. Redan från början hade han dock problem med sin kost. Utbrottet av första världskriget gjorde det svårare att skaffa speciella livsmedel och det dröjde inte länge innan Ramanujan hade hälsoproblem.
Redan från början ledde Ramanujans samarbete med Hardy till viktiga resultat. Hardy var dock osäker på hur man skulle närma sig problemet med Ramanujans brist på formell utbildning. Han skrev: –
Vad skulle göras för att lära honom modern matematik? Begränsningarna av hans kunskap var lika häpnadsväckande som dess djupgående.
Littlewood ombads att hjälpa till att lära ut Ramanujan rigorösa matematiska metoder. Men han sa (): –
… att det var extremt svårt eftersom varje gång någon fråga, som man ansåg att Ramanujan behövde veta, nämndes, kom Ramanujans svar var en lavin av originalidéer som gjorde det nästan omöjligt för Littlewood att fortsätta i sin ursprungliga avsikt.
Kriget tog snart bort Littlewood på krigsplikt men Hardy stannade kvar i Cambridge för att arbeta med Ramanujan Även under sin första vinter i England var Ramanujan sjuk och han skrev i mars 1915 att han hade varit sjuk på grund av vintervädret och inte hade kunnat publicera någonting på fem månader. Det han publicerade var det arbete han gjorde i England, beslutet hade fattats att de resultat han uppnått i Indien, av vilka många han hade meddelat Hardy i sina brev, inte skulle publiceras förrän kriget hade avslutats.
Den 16 mars 1916 tog Ramanujan examen från Cambridge med en kandidatexamen från forskning (graden kallades en doktorsexamen f rom 1920). Han hade fått anmäla sig i juni 1914 trots att han inte hade rätt kvalifikationer. Ramanujans avhandling handlade om mycket sammansatta siffror och bestod av sju av hans artiklar publicerade i England.
Ramanujan blev allvarligt sjuk 1917 och hans läkare fruktade att han skulle dö. Han förbättrades lite i september men tillbringade större delen av sin tid på olika vårdhem. I februari 1918 skrev Hardy (se): –
Batty Shaw fick reda på vad andra läkare inte visste att han hade genomgått en operation för ungefär fyra år sedan Hans värsta teori var att detta verkligen hade varit för att avlägsna en malign tillväxt, felaktigt diagnostiserad. Med tanke på att Ramanujan inte var värre än för sex månader sedan har han nu övergett denna teori – de andra läkarna gav den aldrig något stöd. Tuberkel har varit den tillfälligt accepterade teorin, förutom detta, sedan den ursprungliga idén om magsår gavs upp … Som alla indianer är han fatalistisk, och det är fruktansvärt svårt att få honom att ta hand om sig själv. div id = ”26083ad0ac”> Den 18 februari 1918 var Ramanujan valde en stipendiat från Cambridge Philosophical Society och sedan tre dagar senare, den största ära som han skulle få, stod hans namn på listan för val som stipendiat till Royal Society of London. Han hade föreslagits av en imponerande lista över matematiker, nämligen Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth och Whitehead. Hans val som stipendiat till Royal Society bekräftades den 2 maj 1918, därefter valdes han den 10 oktober 1918 till stipendiat från Trinity College Cambridge, det stipendium som varade i sex år.
Utmärkelserna som tilldelades Ramanujan verkade för att hjälpa hans hälsa att förbättras lite och han förnyade sin effekt på att producera matematik. I slutet av november 1918 hade Ramanujans hälsa förbättrats kraftigt. Hardy skrev i ett brev: –Jag tror att vi nu kan hoppas att han har vänt sig till hörnet och är på väg till en verklig återhämtning. Hans temperatur har upphört att vara oregelbunden, och han har fått nästan en sten i vikt … Det har aldrig funnits några tecken på någon fördjupning i hans extraordinära matematiska talanger. Han har producerat mindre, naturligtvis, under hans sjukdom men kvaliteten har varit densamma ….
Han kommer att återvända till Indien med en vetenskaplig ställning och rykte som ingen indier har haft tidigare, och jag är övertygad om att Indien kommer att betrakta honom som den skatt han är. Hans naturliga enkelhet och blygsamhet har aldrig påverkats i det minsta av framgång – det enda som krävs är att få honom att inse att han verkligen är en framgång.Ramanujan seglade till Indien den 27 februari 1919 anländer den 13 mars. Men hans hälsa var mycket dålig och trots medicinsk behandling dog han där året därpå.
Brev som Ramanujan skrev till Hardy 1913 hade innehöll många fascinerande resultat. Ramanujan utarbetade Riemann-serien, de elliptiska integralerna, hypergeometriska serierna och funktionella ekvationer av zeta-funktionen. Å andra sidan hade han bara en vag uppfattning om vad som utgör ett matematiskt bevis. Trots många lysande resultat var några av hans satser om primtal helt felaktiga.
Ramanujan upptäckte oberoende resultat av Gauss, Kummer och andra i hypergeometriska serier. Ramanujans eget arbete med partiella summor och produkter från hypergeometriska serier har lett till en stor utveckling i ämnet. Kanske var hans mest kända verk om antalet p (n) partitioner av ett heltal nnn i sommar. MacMahon hade producerat tabeller över värdet av p (n) p (n) p (n) för små siffror nnn, och Ramanujan använde dessa numeriska data för att förutse några anmärkningsvärda egenskaper, av vilka han bevisade att han använde elliptiska funktioner. Andra bevisades först efter Ramanujans död.
I ett gemensamt papper med Hardy gav Ramanujan en asymptotisk formel för p (n) p (n) p (n). Det hade den anmärkningsvärda egenskapen att det verkade ge det korrekta värdet av p (n) p (n) p (n), och detta bevisades senare av Rademacher.
Ramanujan lämnade ett antal opublicerade anteckningsböcker fyllda med satser som matematiker har fortsatt att studera. GN Watson, murarprofessor i ren matematik i Birmingham 1918 till 1951 publicerade 14 artiklar under den allmänna titeln Theorems uttalade av Ramanujan och totalt publicerade han nästan 30 artiklar som var inspirerade av Ramanujans arbete. Hardy förde vidare till Watson det stora antalet av manuskript av Ramanujan som han hade, både skrivna före 1914 och några skrivna i Ramanujan förra året i Indien före hans död.
Bilden ovan är hämtad från en stämpel som utfärdades av det indiska postkontoret för att fira 75-årsjubileet av hans födelse.