Den exponentiella fördelningen är en av de allmänt använda kontinuerliga distributionerna. Det används ofta för att modellera tiden som gått mellan händelserna. Vi kommer nu att matematiskt definiera den exponentiella fördelningen och härleda dess medelvärde och förväntade värde. Sedan kommer vi att utveckla intuitionen för distributionen och diskutera flera intressanta egenskaper som den har.

Figur 4.5 visar PDF: n för exponentiell distribution för flera värden på $ \ lambda $.

Låt $ X \ sim Exponential (\ lambda) $. Vi kan hitta det förväntade värdet enligt följande med hjälp av integration av delar:

Nu ska vi hitta Var $ (X) $. Vi har

Således vi får $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

En intressant egenskap hos den exponentiella fördelningen är att den kan ses som en kontinuerlig analog för att se detta, kom ihåg det slumpmässiga experimentet bakom den geometriska fördelningen: du kastar ett mynt (upprepa ett Bernoulli-experiment) tills du observerar de första huvuden (framgång). Antag nu att myntkastningarna är $ \ Delta $ sekunder ifrån varandra och i varje kast är sannolikheten för framgång $ p = \ Delta \ lambda $. Antag också att $ \ Delta $ är mycket liten, så att myntkasten ligger mycket nära varandra i tiden och sannolikheten för framgång i varje försök är mycket låg. Låt $ X $ vara den tid du observerar granen st framgång. Vi kommer att visa i avsnittet Lösta problem att fördelningen av $ X $ konvergerar till $ Exponential (\ lambda) $ när $ \ Delta $ närmar sig noll.

För att få lite intuition för denna tolkning av den exponentiella fördelningen antar att du väntar på att en händelse ska hända. Du är till exempel i en butik och väntar på nästa kund. I varje millisekund är sannolikheten att en ny kund kommer in i butiken mycket liten. Du kan föreställa dig att ett mynt (med en mycket liten $ P (H) $) kastas i varje millisekund, och om det landar, kommer nya kunder in. Om du slänger ett mynt varje millisekund följer tiden tills en ny kund anländer ungefär en exponentiell distribution.

Ovanstående tolkning av exponentialen är användbar för att bättre förstå egenskaperna för den exponentiella distributionen. Den viktigaste av dessa egenskaper är att den exponentiella fördelningen är minnesfri. För att se detta, tänk på en exponentiell slumpmässig variabel i betydelsen att kasta många mynt tills du observerar de första huvuden. Om vi slänger myntet flera gånger och inte ser några huvuden, är det från och med nu som om vi börjar om igen. Med andra ord påverkar de misslyckade myntkastningarna inte fördelningen av väntetiden från och med nu. Anledningen till detta är att myntkastningarna är oberoende. Vi kan ange detta formellt enligt följande: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Från väntetiden till en kunds ankomst betyder den minneslösa egenskapen att det inte spelar någon roll hur länge du har väntat än så länge. Om du inte har observerat en kund förrän tiden $ a $ är fördelningen av väntetid (från tiden $ a $) till nästa kund samma som när du började vid tidpunkten noll. Låt oss bevisa den minneslösa egenskapen för den exponentiella fördelningen. \ Börjar {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}