Även om vertikala asymptoter beskriver beteendet hos en graf eftersom utdata blir mycket stora eller mycket små, hjälper horisontella asymptoter till att beskriva beteendet för en graf eftersom ingången blir mycket stor eller mycket små. Kom ihåg att en polynoms slutbeteende kommer att spegla den ledande termen. På samma sätt kommer en rationell funktions slutbeteende att spegla förhållandet mellan de ledande termerna för täljaren och nämnarens funktioner.
Det finns tre distinkta resultat när man letar efter horisontella asymptoter:
Fall 1: Om nämnarens grad > -graden för täljaren finns en horisontell asymptot vid y = 0.
Fall 2: Om nämnarens graden < graden av täljaren en, får vi en sned asymptot.
Observera att grafen för en rationell funktion aldrig kommer att korsa en vertikal asymptot, men grafen kan eller kanske inte korsar en horisontell eller lutande asymptot. Även om grafen för en rationell funktion kan ha många vertikala asymptoter, kommer grafen att ha högst en horisontell (eller sned) asymptot.
Det bör noteras att om graden av täljare är större än graden av nämnaren med mer än en, kommer grafens slutbeteende att efterlikna beteendet hos det reducerade ändbeteendet \ fraktionen. Till exempel om vi hade funktionen
med slutbeteende
grafens slutbeteende skulle se ut som en jämn polynom med en positiv ledande koefficient.
En allmän anmärkning: Horisontella asymptoter av Rationella funktioner
Den rationella funktionens horisontella asymptot kan bestämmas genom att titta på täljarens och nämnarens grader.
- Graden av täljare är mindre än nämnarens grad: horisontell asymptot vid y = 0.
- Täljgraden är större än nämnarens grad med en: ingen horisontell asymptot; sned asymptot.
- Täljarens grad är lika med nämnarens grad: horisontell asymptot vid förhållandet mellan ledande koefficienter.
En allmän anmärkning: Avlyssningar av rationella funktioner
En rationell funktion har en y-skärning när ingången är noll, om funktionen är noll. En rationell funktion kommer inte att ha en y-skärning om funktionen inte är definierad vid noll.
På samma sätt kommer en rationell funktion att ha x-avlyssningar vid ingångarna som orsakar att utgången är noll. Eftersom en \ fraktion bara är lika med noll när täljaren är noll, kan x-avlyssningar endast inträffa när täljaren för den rationella funktionen är lika med noll.
Prova det 7
Med tanke på den ömsesidiga kvadratfunktionen som flyttas till höger 3 enheter och ner 4 enheter, skriv detta som en rationell funktion. Hitta sedan x– och y-avlyssningar och de horisontella och vertikala asymptoterna.
Lösning