Archimedes (Svenska)

Hans verk

Det finns nio existerande avhandlingar av Archimedes på grekiska. De viktigaste resultaten i På sfären och cylindern (i två böcker) är att ytan för varje sfär med radie r är fyra gånger så stor som dess största cirkel (i modern notation, S = 4πr2) och att volymen på en sfär är två tredjedelar av cylindern där den är inskriven (leder omedelbart till formeln för volymen, V = 4 / 3πr3). Archimedes var tillräckligt stolt över den senare upptäckten för att lämna instruktioner för att hans grav skulle kunna markeras med en sfär inskriven i en cylinder. Marcus Tullius Cicero (106–43 f.Kr.) fann graven, bevuxen med vegetation, ett och ett halvt sekel efter Archimedes död.

Mätning av cirkeln är ett fragment av ett längre arbete där π (pi), förhållandet mellan omkretsen och diametern på en cirkel, visas ligga mellan gränserna 3 10/71 och 3 1/7. Archimedes inställning till bestämning av π, som består av att skriva in och begränsa regelbundna polygoner med ett stort antal sidor, följdes av alla tills utvecklingen av oändliga serieutvidgningar i Indien under 1400-talet och i Europa under 1600-talet. Det arbetet innehåller också exakta approximationer (uttryckt som förhållanden av heltal) till kvadratrötterna på 3 och flera stora siffror. en konisk sektion (cirkel, ellips, parabel eller hyperbol) kring dess axel. I moderna termer är det integrationsproblem. (Se kalkyl.) On Spirals utvecklar många egenskaper hos tangenter till och områden associerade med Archimedes-spiralen – dvs. platsen för en punkt som rör sig med enhetlig hastighet längs en rak linje som i sig roterar med enhetlig hastighet kring en fast punkt . Det var en av endast några få kurvor bortom den raka linjen och de koniska sektionerna som var kända i antiken.

Om jämvikt mellan plan (eller centrum för tyngdkraften i plan; i två böcker) handlar det främst om att upprätta tyngdpunkten för olika rätlinjiga planfigurer och delar av parabolen och paraboloid. Den första boken syftar till att fastställa ”hävstångens lag” (storleksbalans på avstånd från stödpunkten i omvänt förhållande till deras vikter), och det är främst på grundval av denna avhandling som Archimedes har kallats grundaren av den teoretiska mekaniken. Mycket av den boken är emellertid utan tvekan inte äkta, som den består av olämpliga senare tillägg eller omarbetningar, och det verkar troligt att den grundläggande principen i hävstångslagen och – möjligen – begreppet tyngdpunkten etablerades. på matematisk basis av forskare tidigare än Archimedes. Hans bidrag var snarare att utvidga dessa begrepp till koniska sektioner.

Kvadraturen i Parabola visar först med ”mekaniska” medel (som i Metoden, diskuterad nedan) och sedan med konventionella geometriska metoder, att arean för vilket som helst segment av en parabel är 4/3 av området för triangeln som har samma bas och höjd som det segmentet. Det är återigen ett problem i integrationen.

Sand-Reckoner är en liten avhandling som är en jeu desprit skriven för lekmannen – den riktar sig till Gelon, son till Hieron – som ändå innehåller lite djupt original matematik. Dess syfte är att avhjälpa bristerna i det grekiska numeriska notationssystemet genom att visa hur man uttrycker ett stort antal – antalet sandkorn som krävs för att fylla hela universum. Vad Archimedes gör i själva verket är att skapa ett system för platsvärde med notation, med en bas på 100.000.000. (Det var uppenbarligen en helt originell idé, eftersom han inte hade någon kunskap om det samtida babyloniska platsvärdessystemet med bas 60.) Verket är också av intresse eftersom det ger den mest detaljerade överlevande beskrivningen av det heliosentriska systemet av Aristarchus av Samos ( c. 310-230 fce) och eftersom den innehåller en redogörelse för ett genialt förfarande som Archimedes använde för att bestämma solens uppenbara diameter genom observation med ett instrument.

Metod angående mekaniska teormer beskriver en upptäcktsprocess i matematik. . Det är det enda överlevande verket från antiken, och ett av få från någon period, som behandlar detta ämne.I den berättar Archimedes hur han använde en ”mekanisk” metod för att komma fram till några av sina viktigaste upptäckter, inklusive området för ett paraboliskt segment och en yta och volym på en sfär. Tekniken består av att dela var och en av två figurer i en oändlig men lika många oändligt tunna remsor, ”väger” sedan varje motsvarande par av dessa remsor mot varandra på en teoretisk balans för att erhålla förhållandet mellan de två originalfigurerna. Archimedes betonar att även om det är användbart som en heuristisk metod, utgör detta förfarande inte ett strikt bevis.

På flytande kroppar (i två böcker) överlever endast delvis på grekiska, resten i medeltida latinsk översättning från grekiska . Det är det första kända arbetet med hydrostatik, av vilket Archimedes är erkänt som grundaren. Dess syfte är att bestämma positionerna som olika fasta ämnen kommer att inta när de flyter i en vätska, beroende på deras form och variationen i deras specifika tyngdkraft. I den första boken fastställs olika allmänna principer, särskilt vad som har blivit känt som Archimedes-principen: en fast tätare än en vätska kommer, när den är nedsänkt i den vätskan, att bli lättare av vikten av vätskan den förskjuter. Den andra boken är en matematisk kraftresa som inte överensstämmer i antiken och sällan utjämnas sedan dess. I den bestämmer Archimedes de olika stabilitetspositionerna som en höger paraboloid av revolution antar när den flyter i en vätska med större specifik vikt, enligt geometriska och hydrostatiska variationer.

Archimedes är känt från referenser från senare författare, att ha skrivit ett antal andra verk som inte har överlevt. Av särskilt intresse är avhandlingar om katoptik, där han bland annat diskuterade brytningsfenomenet; på de 13 semiregulära (arkimediska) polyedrarna (de kroppar som avgränsas av vanliga polygoner, inte nödvändigtvis alla av samma typ, som kan skrivas in i en sfär); och ”Cattle Problem” (bevarat i ett grekiskt epigram), som utgör ett problem i obestämd analys, med åtta okända. Förutom dem överlever flera verk i arabisk översättning tillskriven Archimedes som inte kan ha komponerats av honom i deras nuvarande form, även om de kan innehålla ”arkimediska” element. Dessa inkluderar ett arbete med att skriva in den vanliga heptagonen i en cirkel; en samling lemmor (förslag som antas vara sanna som används för att bevisa en sats) och en bok, On Touching Circles, som båda har att göra med elementär geometri; och magen (av vilka delar överlever också på grekiska), som handlar om en kvadrat uppdelad i 14 bitar för ett spel eller pussel.

Archimedes matematiska bevis och presentation uppvisar stor djärvhet och originalitet hos tanken å andra sidan, och extrem stränghet, som uppfyller de högsta standarderna för samtida geometri. Medan metoden visar att han anlände till formlerna för en sfärs yta och volym genom ”mekaniskt” resonemang som involverade oändliga siffror, använder han i sina faktiska bevis på resultaten i sfär och cylinder endast de strikta metoderna för successiv ändlig approximation som hade uppfanns av Eudoxus från Cnidus under 400-talet fvt. Dessa metoder, av vilka Archimedes var en mästare, är standardproceduren i alla hans verk om högre geometri som handlar om att bevisa resultat om områden och volymer. Deras matematiska stränghet står i stark kontrast till ”bevisen” från de första utövarna av integrerad kalkyl på 1600-talet, när oändliga djur återinfördes i matematik. Ändå är Archimedes resultat inte mindre imponerande än deras. Samma frihet från konventionella tankesätt framgår av det aritmetiska fältet i Sand-Reckoner, som visar en djup förståelse för det numeriska systemets natur.

I antiken var Archimedes också känd som en enastående astronom: hans observationer av solstånd användes av Hipparchus (blomstrade ca 140 f.Kr.), den främsta antika astronomen. Mycket lite är känt om denna sida av Archimedes verksamhet, även om Sand-Reckoner avslöjar sitt stora astronomiska intresse och praktiska observationsförmåga. Det har emellertid överlämnats en uppsättning siffror som tillskrivs honom som ger avstånden till de olika himmellegemerna från jorden, vilket har visat sig inte baseras på observerade astronomiska data utan på en ”Pythagoras” teori som associerar rumsintervallen planeterna med musikaliska intervall. Det är förvånande att det är att hitta dessa metafysiska spekulationer i en praktiserande astronoms arbete, men det finns goda skäl att tro att deras tillskrivning till Archimedes är korrekt.