Conceitos-chave
Matemática
Probabilidade
Estatística
Introdução
Já Você já percebeu como às vezes o que parece lógico acaba se revelando falso com um pouco de matemática? Por exemplo, quantas pessoas você acha que seriam necessárias para pesquisar, em média, para encontrar duas pessoas que compartilham o mesmo dia de aniversário? Devido à probabilidade, às vezes é mais provável que um evento ocorra do que acreditamos. Nesse caso, se você pesquisar um grupo aleatório de apenas 23 pessoas, há na verdade cerca de 50-50 de que duas delas façam aniversário no mesmo dia. Isso é conhecido como o paradoxo do aniversário. Não acredita que seja verdade? Você pode testá-lo e ver a probabilidade matemática em ação!
Histórico
O paradoxo do aniversário, também conhecido como o problema do aniversário, afirma que em um grupo aleatório de 23 pessoas, há cerca de 50 por cento de chance que duas pessoas fazem aniversário no mesmo. Isso é verdade mesmo? Existem várias razões pelas quais isso parece um paradoxo. Uma é que, quando em uma sala com 22 outras pessoas, se uma pessoa comparar seu aniversário com os aniversários das outras pessoas, haverá apenas 22 comparações – apenas 22 chances de as pessoas compartilharem o mesmo aniversário.
Mas quando todos os 23 aniversários são comparados uns com os outros, há muito mais do que 22 comparações. Quanto mais? Bem, a primeira pessoa tem 22 comparações a fazer, mas a segunda pessoa já foi comparada com a primeira pessoa, então há apenas 21 comparações a fazer. A terceira pessoa tem 20 comparações, a quarta pessoa tem 19 e assim por diante. Se você somar todas as comparações possíveis (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), a soma é 253 comparações ou combinações. Consequentemente, cada grupo de 23 pessoas envolve 253 comparações, ou 253 chances de aniversários correspondentes.
Materiais
• Grupos de 23 ou mais pessoas (10 a 12 desses grupos) ou uma fonte com aniversários aleatórios (ver Preparação abaixo para dicas)
• Papel e caneta ou lápis
• Calculadora (opcional)
Preparação
• Colete aniversários para grupos aleatórios de 23 ou mais pessoas. O ideal é que você tenha de 10 a 12 grupos de 23 ou mais pessoas, de forma que haja grupos diferentes o suficiente para comparar. (Você não precisa do ano para os aniversários, apenas do mês e do dia.)
• Dica: aqui estão algumas maneiras de encontrar várias pessoas agrupadas aleatoriamente: peça aos professores para passarem uma lista para cada uma de suas aulas para coletar os aniversários dos alunos da classe (a maioria das escolas tem cerca de 25 alunos em uma classe); use os aniversários dos jogadores dos times de beisebol da liga principal (essas informações podem ser facilmente encontradas na Internet); ou use os de outras pessoas aleatórias usando fontes online.
Procedimento
• Para cada grupo de 23 ou mais aniversários que você coletou, classifique-os para ver se há correspondências de aniversário em cada grupo.
• Quantos de seus grupos têm duas ou mais pessoas com o mesmo aniversário? Com base no paradoxo do aniversário, quantos grupos você esperaria encontrar com duas pessoas com o mesmo aniversário? O paradoxo do aniversário é verdadeiro?
• Extra: Neste atividade você usou um grupo de 23 ou mais pessoas, mas pode tentar usando grupos maiores. usar um grupo de 366 pessoas – o maior número de dias que um ano pode ter – as chances de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia são de 100 por cento (excluindo os aniversários de 29 de fevereiro em anos bissextos), mas quais você acha que são as chances em um grupo de 60 ou 75 pessoas?
• Extra: Jogar dados é uma ótima maneira de investigar a probabilidade. Você pode tentar lançar três dados de 10 lados e cinco dados de seis lados 100 vezes cada e registrar os resultados de cada lançamento. Calcule a probabilidade matemática de obter uma soma superior a 18 para cada combinação de dados ao rolar 100 vezes. (Este site pode ensiná-lo a calcular a probabilidade: Central de probabilidade do Oracle ThinkQuest.) Qual combinação tem uma probabilidade matemática mais alta e isso era verdade quando você as rolou?
Observações e resultados
Fez cerca de 50% de os grupos de 23 ou mais pessoas incluem pelo menos duas pessoas com os mesmos aniversários?
Ao comparar probabilidades com aniversários, pode ser mais fácil olhar para a probabilidade de que as pessoas não compartilham um aniversário. O aniversário de uma pessoa é um entre 365 possibilidades (excluindo os aniversários de 29 de fevereiro). A probabilidade de uma pessoa não fazer o mesmo aniversário de outra é 364 dividido por 365 porque há 364 dias que não são o aniversário de uma pessoa . Isso significa que quaisquer duas pessoas têm 364/365, ou 99,726027 por cento, de chance de não coincidir com os aniversários.
Como mencionado antes, em um grupo de 23 pessoas, há 253 comparações ou combinações que podem ser feito. Portanto, não estamos analisando apenas uma comparação, mas 253 comparações. Cada uma das 253 combinações tem as mesmas chances, 99,726027%, de não corresponderem. Se você multiplicar 99,726027% por 99.726027 253 vezes, ou calcule (364/365) 253, você descobrirá que há uma chance de 49,952 por cento de que todas as 253 comparações não contenham correspondências. Conseqüentemente, a probabilidade de haver uma correspondência de aniversário nessas 253 comparações é de 1 – 49,952% = 50,048%, ou pouco mais da metade! Quanto mais testes você executa, mais perto a probabilidade real deve se aproximar de 50 por cento.
Mais para explorar
“Entendendo o Paradoxo do Aniversário” de BetterExplained
“Central de Probabilidades” da Oracle ThinkQuest
“Combinations and Permutations” da MathIsFun
“The Birthday Paradox” da Science Buddies
Esta atividade trouxe a você em parceria com a Science Buddies