Um paralelogramo pode ser reorganizado em um retângulo com a mesma área.
Animação para a fórmula de área K = bh {\ displaystyle K = bh}.
Todas as fórmulas de área para quadriláteros convexos gerais se aplicam a paralelogramos. Outras fórmulas são específicas para paralelogramos:
Um paralelogramo com base b e altura h pode ser dividido em um trapézio e um triângulo retângulo, e reorganizado em um retângulo, como mostrado na figura à esquerda. Isso significa que a área de um paralelogramo é a mesma de um retângulo com a mesma base e altura:
K = b h. {\ displaystyle K = bh.}
A área do paralelogramo é a área da região azul, que é o interior do paralelogramo
A fórmula base × área da altura também pode ser derivada usando a figura à direita. A área K do paralelogramo à direita (a área azul) é a área total do retângulo menos a área dos dois triângulos laranja. A área do retângulo é
K rect = (B + A) × H {\ displaystyle K _ {\ text {rect}} = (B + A) \ times H \,}
e a área de um único triângulo laranja é
K tri = 1 2 A × H. {\ displaystyle K _ {\ text {tri}} = {\ frac {1} {2}} A \ vezes H. \,}
Portanto, a área do paralelogramo é
K = K rect – 2 × K tri = ((B + A) × H) – (A × H) = B × H. {\ displaystyle K = K _ {\ text {rect}} – 2 \ vezes K _ {\ text {tri}} = ((B + A) \ vezes H) – (A \ vezes H) = B \ vezes H.}
Outra fórmula de área, para dois lados B e C e ângulo θ, é
K = B ⋅ C ⋅ sin θ. {\ displaystyle K = B \ cdot C \ cdot \ sin \ theta. \,}
A área de um paralelogramo com lados B e C (B ≠ C) e ângulo γ {\ displaystyle \ gamma} na intersecção de as diagonais são dadas por
K = | tan γ | 2 ⋅ | B 2 – C 2 | . {\ displaystyle K = {\ frac {| \ tan \ gamma |} {2}} \ cdot \ left | B ^ {2} -C ^ {2} \ right |.}
Quando o paralelogramo é especificado a partir de os comprimentos B e C de dois lados adjacentes junto com o comprimento D1 de qualquer diagonal, então a área pode ser encontrada na fórmula de Heron. Especificamente, é
K = 2 S (S – B) (S – C ) (S – D 1) {\ displaystyle K = 2 {\ sqrt {S (SB) (SC) (S-D_ {1})}}}
Área em termos de coordenadas cartesianas de vérticesEditar
Deixe os pontos a, b, c ∈ R 2 {\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R} ^ {2}}. Então, a área do paralelogramo com vértices em a, b e c é equivalente para o valor absoluto do determinante de uma matriz construída usando a, bec como linhas com a última coluna preenchida usando os seguintes:
K = | det |. {\ displaystyle K = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & 1 \\ b_ {1} & b_ {2} & 1 \\ c_ {1} & c_ {2} & 1 \ end {bmatrix}} \ certo |.}