Juros compostos

Edição periódica de composição

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P “= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

onde:

P é a soma principal original P” é a nova soma principal r é a taxa de juros anual nominal n é a frequência de composição t é o período total de tempo em que os juros são aplicados (expresso usando as mesmas unidades de tempo que r, geralmente anos).

O juro composto total gerado é o valor final menos o principal inicial:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Exemplo 1Editar

P ′ = 1 500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938,84}

Então, o novo principal P ′ {\ displaystyle P “} depois 6 anos é aproximadamente $ 1.938,84.

Subtraindo o principal original deste valor resulta o valor dos juros recebidos:

1.938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438,84}

Exemplo 2Editar

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1+ ( 0,043 \ vezes 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921,24}

Então, o saldo após 6 anos é de aproximadamente $ 1.921,24.

O valor de os juros recebidos podem ser calculados subtraindo o principal deste valor.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

O interesse é menor em comparação com o caso anterior, como resultado da frequência de composição mais baixa.

Função de acumulaçãoEditar

Visto que o P principal é simplesmente um coeficiente, geralmente é eliminado para simplificar e a função de acumulação resultante é usada em seu lugar. A função de acumulação mostra a que $ 1 cresce após qualquer período de tempo.

As funções de acumulação para juros simples e compostos são

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Se nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, então essas duas funções são iguais.

Edição contínua de composição

Como n , o número de períodos de capitalização por ano aumenta sem limite, o caso é conhecido como capitalização contínua, caso em que a taxa anual efetiva se aproxima de um limite superior de er – 1, onde e é uma constante matemática que é a base do natural logaritmo.

A composição contínua pode ser considerada como tornando o período de composição infinitesimalmente pequeno, obtido considerando o limite conforme n vai ao infinito. Veja as definições da função exponencial para a prova matemática deste limite. A quantidade após t períodos de composição contínua pode ser expressa em termos da quantidade inicial P0 como

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force of interestEdit

À medida que o número de períodos de composição n {\ displaystyle n} atinge o infinito na composição contínua, a taxa de juros composta contínua é referida como a força dos juros δ {\ displaystyle \ delta}.

Em matemática, as funções de acumulação são frequentemente expressas em termos de e, a base do logaritmo natural. Isso facilita o uso de cálculo para manipular fórmulas de juros.

Para qualquer função de acumulação continuamente diferenciável a (t), a força de interesse ou, mais geralmente, o retorno logarítmico ou continuamente composto é uma função do tempo definida como segue:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “(t)} {a (t) )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Esta é a derivada logarítmica da função de acumulação.

Inversamente:

a (t) ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (uma vez que a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; isso pode ser visto como um caso particular de uma integral do produto).

Quando a fórmula acima é escrita no formato de equação diferencial, a força de interesse é simplesmente o coeficiente de quantidade de mudança:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Para juros compostos com uma taxa de juros anual constante r, a força dos juros é uma constante t, e a função de acumulação de juros compostos em termos de força de juros é uma potência simples de e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } ou a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

A força dos juros é menor do que a taxa de juros efetiva anual, mas maior do que o desconto efetivo anual avaliar. É o recíproco do tempo do e-fold. Veja também notação de taxas de juros.

Edição da base de composição

Para converter uma taxa de juros de uma base de composição para outra, use

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

ondeer1 é a taxa de juros com frequência composta n1, andr2 é a taxa de juros com frequência composta n2.

Quando os juros são compostos continuamente, use

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

onde δ {\ displaystyle \ delta} é a taxa de juros em uma base composta contínua, andr é a taxa de juros declarada com uma frequência composta n.

Empréstimo ou hipoteca amortizado mensal PaymentEdit

Os juros sobre empréstimos e hipotecas que são amortizados – ou seja, têm um pagamento mensal regular até que o empréstimo seja liquidado – geralmente são compostos mensalmente. A fórmula para pagamentos é encontrada no seguinte argumento.

Fórmula exata para edição do pagamento mensal

Uma fórmula exata para o pagamento mensal (c {\ displaystyle c}) é

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

ou de forma equivalente

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

onde:

c {\ displaystyle c} = pagamento mensal P {\ displaystyle P} = principal r {\ displaystyle r} = taxa de juros mensal n {\ displaystyle n} = número de períodos de pagamento

Isso pode ser deduzido considerando quanto resta para ser reembolsado após cada mês.
O principal restante após o primeiro mês é

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

ou seja, o valor inicial mais juros menos o pagamento.
Se todo o empréstimo for pago após um mês, então

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, então P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Após o segundo mês P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} é deixado, então

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Se todo o empréstimo foi pago após dois meses,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, então P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

que pode ser reorganizado para dar

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Fórmula da planilha

Em planilhas, o PMT ( ) função é usada. A sintaxe é:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Veja Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets para mais detalhes.

Por exemplo, para taxa de juros de 6% (0,06 / 12), 25 anos * 12 pa, PV de $ 150.000, FV de 0, tipo de 0 dá:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Fórmula aproximada para pagamento mensalEditar

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

que sugere a definição de variáveis auxiliares

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Aqui, c 0 {\ displaystyle c_ {0}} é o pagamento mensal necessário para um empréstimo sem juros pago em n {\ displaystyle n} parcelas. Em termos dessas variáveis, a aproximação pode ser escrita

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

A função f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} é par:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

implicando que pode ser expandido em potências pares de Y {\ displaystyle Y}.

Será conveniente então definir

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

de modo que

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

que pode ser expandido:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +…) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

onde as elipses indicam termos que são de ordem superior em potências pares de X {\ displaystyle X}. A expansão

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ direita)}

é válido para melhor que 1%, desde X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Exemplo de pagamento de hipotecaEditar

Para uma hipoteca de $ 10.000 com um prazo de 30 anos e uma taxa de notas de 4,5%, pagável anualmente, encontramos:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0,045}

que dá

X = 1 2 IT = 0,675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = 0,675}

de modo que

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + 0,675 + 0,675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ aprox P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + 0,675 + 0,675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investimento: depósitos mensaisEditar

Dado um depósito principal (inicial) e um depósito recorrente, o retorno total de um investimento pode ser calculado por meio dos juros compostos ganhos por unidade de tempo. Se necessário, os juros sobre depósitos não recorrentes e recorrentes adicionais também podem ser definidos dentro da mesma fórmula (veja abaixo).

P {\ displaystyle P} = Depósito principal r {\ displaystyle r} = Taxa de retorno ( mensal) M {\ displaystyle M} = depósito mensal, et {\ displaystyle t} = Tempo, nos meses M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Se dois ou mais tipos de depósitos ocorrerem (seja recorrente ou não recorrente), o composto os juros ganhos podem ser representados como

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} onde C e k são depósitos não recorrentes e recorrentes, respectivamente, e x e y são as diferenças de tempo entre um novo depósito e qualquer variável t {\ displaystyle t} é modelagem.