A distribuição exponencial é uma das distribuições contínuas amplamente utilizadas. Geralmente é usado para modelar o tempo decorrido entre os eventos. Vamos agora definir matematicamente a distribuição exponencial e derivar sua média e valor esperado. Em seguida, desenvolveremos a intuição para a distribuição e discutiremos várias propriedades interessantes que ela possui.

A Figura 4.5 mostra o PDF da distribuição exponencial para vários valores de $ \ lambda $.

Vamos $ X \ sim Exponencial (\ lambda) $. Podemos encontrar seu valor esperado da seguinte maneira, usando integração por partes:

Agora vamos encontrar Var $ (X) $. Temos

Assim, obtemos $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Uma propriedade interessante da distribuição exponencial é que ela pode ser vista como um análogo contínuo da distribuição geométrica. Para ver isso, lembre-se do experimento aleatório por trás da distribuição geométrica: você joga uma moeda (repete um experimento de Bernoulli) até observar as primeiras caras (sucesso). Agora, suponha que os lances de moeda sejam $ \ Delta $ segundos de intervalo e em cada lançamento a probabilidade de sucesso é $ p = \ Delta \ lambda $. Suponha também que $ \ Delta $ seja muito pequeno, então os lançamentos da moeda estão muito próximos no tempo e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é muito baixo. Seja $ X $ o momento em que você observa o primeiro sucesso. Mostraremos na seção Problemas resolvidos que a distribuição de $ X $ converge para $ Exponencial (\ lambda) $ quando $ \ Delta $ se aproxima de zero.

Para obter alguma intuição para esta interpretação da distribuição exponencial , suponha que você esteja esperando que um evento aconteça. Por exemplo, você está em uma loja e espera pelo próximo cliente. A cada milissegundo, a probabilidade de um novo cliente entrar na loja é muito pequena. Você pode imaginar que, a cada milissegundo, uma moeda (com um $ P (H) $ muito pequeno) é lançada e, se cair cara, um novo cliente entra. Se você jogar uma moeda a cada milissegundo, o tempo até a chegada de um novo cliente segue aproximadamente uma distribuição exponencial.

A interpretação acima do exponencial é útil para entender melhor as propriedades da distribuição exponencial. A mais importante dessas propriedades é que a distribuição exponencial não tem memória. Para ver isso, pense em uma variável aleatória exponencial no sentido de jogar muitas moedas até observar as primeiras caras. Se jogarmos a moeda várias vezes e não observarmos cara, a partir de agora é como se começássemos tudo de novo. Em outras palavras, o fracasso no lançamento da moeda não afeta a distribuição do tempo de espera a partir de agora. A razão para isso é que os lances da moeda são independentes. Podemos afirmar isso formalmente da seguinte forma: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Do ponto de vista do tempo de espera até a chegada de um cliente, a propriedade sem memória significa que não importa quanto tempo você esperou até aqui. Se você não observou um cliente até o momento $ a $, a distribuição do tempo de espera (do momento $ a $) até o próximo cliente é a mesma de quando você começou no momento zero. Vamos provar a propriedade sem memória da distribuição exponencial. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}