Suas obras
Existem nove tratados de Arquimedes em grego. Os principais resultados em On the Sphere and Cylinder (em dois livros) são que a área de superfície de qualquer esfera de raio r é quatro vezes maior do que seu maior círculo (na notação moderna, S = 4πr2) e que o volume de uma esfera é dois terços do cilindro em que está inscrito (levando imediatamente à fórmula do volume, V = 4 / 3πr3). Arquimedes se orgulhava da última descoberta para deixar instruções para que seu túmulo fosse marcado com uma esfera inscrita em um cilindro. Marcus Tullius Cicero (106-43 aC) encontrou a tumba, coberta de vegetação, um século e meio após a morte de Arquimedes.
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A medição do Círculo é um fragmento de um trabalho mais longo no qual π (pi), a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, está entre os limites de 3 10/71 e 3 1/7. A abordagem de Arquimedes para determinar π, que consiste em inscrever e circunscrever polígonos regulares com um grande número de lados, foi seguida por todos até o desenvolvimento de expansões em série infinita na Índia durante o século 15 e na Europa durante o século 17. Esse trabalho também contém aproximações precisas (expressas como razões de inteiros) para as raízes quadradas de 3 e vários números grandes.
Sobre Conóides e Esferóides trata da determinação dos volumes dos segmentos de sólidos formados pela revolução de uma seção cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) em torno de seu eixo. Em termos modernos, esses são problemas de integração. (Ver cálculo.) Em espirais desenvolve muitas propriedades de tangentes e áreas associadas à espiral de Arquimedes – ou seja, o lugar geométrico de um ponto se movendo com velocidade uniforme ao longo de uma linha reta que está girando com velocidade uniforme em torno de um ponto fixo . Foi uma das poucas curvas além da linha reta e das seções cônicas conhecidas na antiguidade.
On the Equilibrium of Planes (ou Centros de Gravidade dos Planos; em dois livros) preocupa-se principalmente em estabelecer o centros de gravidade de várias figuras planas retilíneas e segmentos da parábola e do parabolóide. O primeiro livro pretende estabelecer a “lei da alavanca” (as magnitudes se equilibram nas distâncias do fulcro na razão inversa de seus pesos), e é principalmente com base nesse tratado que Arquimedes foi denominado o fundador da mecânica teórica. Muito desse livro, no entanto, é indubitavelmente não autêntico, consistindo em adições ou retrabalhos posteriores ineptos, e parece provável que o princípio básico da lei da alavanca e, possivelmente, o conceito do centro de gravidade foram estabelecidos em uma base matemática por estudiosos anteriores a Arquimedes. Sua contribuição foi antes estender esses conceitos para seções cônicas.
A quadratura da Parábola demonstra, primeiro por meios “mecânicos” (como no Método, discutido abaixo) e então, por métodos geométricos convencionais, que a área de qualquer segmento de uma parábola é 4/3 da área do triângulo que tem a mesma base e altura desse segmento. Isso é, novamente, um problema de integração.
O Sand-Reckoner é um pequeno tratado que é um jeu desprit escrito para o leigo – é dirigido a Gelon, filho de Hieron – que, no entanto, contém alguma matemática profundamente original. Seu objetivo é remediar as inadequações do sistema de notação numérica grego, mostrando como expressar um grande número – o número de grãos de areia que seriam necessários para preencher todo o universo. O que Arquimedes faz, com efeito, é criar um sistema de notação de valor local, com uma base de 100 milhões. (Essa foi aparentemente uma ideia completamente original, uma vez que ele não tinha conhecimento do sistema de valor local babilônico contemporâneo com base 60). O trabalho também é de interesse porque fornece a descrição mais detalhada sobrevivente do sistema heliocêntrico de Aristarco de Samos ( c. 310–230 aC) e porque contém um relato de um procedimento engenhoso que Arquimedes usou para determinar o diâmetro aparente do Sol por meio da observação com um instrumento.
Método sobre Teoremas Mecânicos descreve um processo de descoberta em matemática . É a única obra remanescente da Antiguidade, e uma das poucas de qualquer período, que trata desse tema.Nele, Arquimedes conta como usou um método “mecânico” para chegar a algumas de suas principais descobertas, incluindo a área de um segmento parabólico e a área de superfície e volume de uma esfera. A técnica consiste em dividir cada uma das duas figuras em um infinito mas igual número de tiras infinitesimalmente finas, então “pesando” cada par correspondente dessas tiras uma contra a outra em uma balança nocional para obter a razão das duas figuras originais. Arquimedes enfatiza que, embora útil como método heurístico, este procedimento não constitui uma prova rigorosa.
On Floating Bodies (em dois livros) sobrevive apenas parcialmente em grego, o resto na tradução latina medieval do grego . É a primeira obra conhecida sobre hidrostática, da qual Arquimedes é reconhecido como o fundador. Seu objetivo é determinar as posições que vários sólidos assumirão ao flutuar em um fluido, de acordo com sua forma e a variação de suas densidades específicas. No primeiro livro, vários princípios gerais são estabelecidos, notadamente o que veio a ser conhecido como princípio de Arquimedes: um sólido mais denso do que um fluido, quando imerso nesse fluido, será mais leve pelo peso do fluido que ele desloca. O segundo livro é um tour de force matemático incomparável na antiguidade e raramente igualado desde então. Nele Arquimedes determina as diferentes posições de estabilidade que um parabolóide direito de revolução assume ao flutuar em um fluido de maior gravidade específica, de acordo com variações geométricas e hidrostáticas.
Arquimedes é conhecido, a partir de referências de autores posteriores, ter escrito uma série de outras obras que não sobreviveram. De particular interesse são os tratados sobre catóptrica, nos quais ele discutiu, entre outras coisas, o fenômeno da refração; nos 13 poliedros semiregulares (Arquimedianos) (aqueles corpos delimitados por polígonos regulares, não necessariamente todos do mesmo tipo, que podem ser inscritos em uma esfera); e o “Problema do gado” (preservado em epigrama grego), que apresenta um problema de análise indeterminada, com oito incógnitas. Além dessas, sobrevivem várias obras em tradução árabe atribuídas a Arquimedes que não podem ter sido compostas por ele em seus forma presente, embora possam conter elementos “arquimedianos”. Isso inclui um trabalho sobre a inscrição do heptágono regular em um círculo; uma coleção de lemas (proposições assumidas como verdadeiras que são usadas para provar um teorema) e um livro, On Touching Circles, ambos relacionados com geometria plana elementar; e o Stomachion (partes do qual também sobrevivem em grego), lidando com um quadrado dividido em 14 peças para um jogo ou quebra-cabeça.
As demonstrações matemáticas de Arquimedes e sua apresentação exibem grande ousadia e originalidade de pensamento sobre aquele lado e extremo rigor do outro, atendendo aos mais altos padrões da geometria contemporânea. Enquanto o Método mostra que ele chegou às fórmulas para a área de superfície e volume de uma esfera por raciocínio “mecânico” envolvendo infinitesimais, em suas provas reais dos resultados em Esfera e Cilindro ele usa apenas os métodos rigorosos de aproximação finita sucessiva que teve foi inventado por Eudoxo de Cnido no século IV aC. Esses métodos, dos quais Arquimedes era um mestre, são o procedimento padrão em todas as suas obras sobre geometria superior que tratam de resultados de prova sobre áreas e volumes. Seu rigor matemático está em forte contraste às “provas” dos primeiros praticantes do cálculo integral no século 17, quando os infinitesimais foram reintroduzidos na matemática. No entanto, os resultados de Arquimedes não são menos impressionantes do que os deles. A mesma liberdade em relação às formas convencionais de pensamento é aparente no campo aritmético de Sand-Reckoner, que mostra uma compreensão profunda da natureza do sistema numérico.
Na antiguidade, Arquimedes também era conhecido como um astrônomo notável: suas observações dos solstícios foram usadas por Hiparco (que floresceu por volta de 140 aC), o mais importante astrônomo antigo. Muito pouco se sabe sobre este lado da atividade de Arquimedes, embora Sand-Reckoner revele seu grande interesse astronômico e habilidade prática de observação. No entanto, foi transmitido um conjunto de números atribuídos a ele dando as distâncias dos vários corpos celestes da Terra, que foi demonstrado ser baseado não em dados astronômicos observados, mas em uma teoria “pitagórica” associando os intervalos espaciais entre os planetas com intervalos musicais. Por mais surpreendente que seja encontrar essas especulações metafísicas no trabalho de um astrônomo praticante, há boas razões para acreditar que sua atribuição a Arquimedes está correta.