Enquanto as assíntotas verticais descrevem o comportamento de um gráfico conforme a saída fica muito grande ou muito pequena, as assíntotas horizontais ajudam a descrever o comportamento de um gráfico conforme a entrada fica muito grande ou muito pequena. Lembre-se de que o comportamento final de um polinômio refletirá o do termo líder. Da mesma forma, o comportamento final de uma função racional espelhará o da razão dos termos principais das funções do numerador e do denominador.
Existem três resultados distintos ao verificar as assíntotas horizontais:
Caso 1: Se o grau do denominador > grau do numerador, há uma assíntota horizontal em y = 0.
Caso 2: Se o grau do denominador < grau do numerador por um, obtemos uma assíntota inclinada.
Observe que, embora o gráfico de uma função racional nunca cruze uma assíntota vertical, o gráfico pode ou não cruzar uma horizontal ou assíntota inclinada. Além disso, embora o gráfico de uma função racional possa ter muitas assíntotas verticais, o gráfico terá no máximo uma assíntota horizontal (ou inclinada).
Deve-se notar que, se o grau do numerador for maior do que o grau do denominador por mais de um, o comportamento final do gráfico irá imitar o comportamento do comportamento final reduzido \ fração. Por exemplo, se tivéssemos a função
com comportamento final
o comportamento final do gráfico seria semelhante ao de um polinômio par com um coeficiente líder positivo.
Uma observação geral: Assíntotas horizontais de Funções Racionais
A assíntota horizontal de uma função racional pode ser determinada observando os graus do numerador e denominador.
- O grau do numerador é menor que o grau do denominador: assíntota horizontal em y = 0.
- O grau do numerador é maior do que o grau do denominador por um: sem assíntota horizontal; assíntota inclinada.
- O grau do numerador é igual ao grau do denominador: assíntota horizontal na proporção dos coeficientes principais.
Uma nota geral: Interceptações de funções racionais
Uma função racional terá uma interceptação y quando a entrada for zero, se a função for definida como zero. Uma função racional não terá uma interceptação y se a função não for definida em zero.
Da mesma forma, uma função racional terá interceptações x nas entradas que fazem com que a saída seja zero. Como a \ fração é igual a zero apenas quando o numerador é zero, as interceptações x só podem ocorrer quando o numerador da função racional é igual a zero.
Experimente 7
Dada a função quadrada recíproca que é deslocada \ para a direita 3 unidades e para baixo 4 unidades, escreva isso como uma função racional. Em seguida, encontre as interceptações x e y e as assíntotas horizontais e verticais.
Solução