Nøglebegreber
Matematik
Sandsynlighed
Statistik
Introduktion
Har du nogensinde lagt mærke til, hvordan det, der synes logisk, nogle gange viser sig at være falsk med lidt matematik? For eksempel, hvor mange mennesker tror du det ville tage at undersøge i gennemsnit for at finde to personer, der har samme fødselsdag? På grund af sandsynligheden er der undertiden mere sandsynlighed for, at en begivenhed finder sted, end vi tror det. I dette tilfælde, hvis du undersøger en tilfældig gruppe på kun 23 personer, er der faktisk ca. 50-50 chance for, at to af dem får samme fødselsdag. Dette er kendt som fødselsdagsparadoxet. Tror du ikke, det er sandt? Du kan teste det og se matematisk sandsynlighed i aktion!
Baggrund
Fødselsdagsparadoxet, også kendt som fødselsdagsproblemet, siger, at der i en tilfældig gruppe på 23 personer er ca. 50 procent chance at to mennesker har samme fødselsdag. Er dette virkelig sandt? Der er flere grunde til, at dette virker som et paradoks. Den ene er, at når en person sammenligner sin fødselsdag med de andre folks fødselsdage i et værelse med 22 andre mennesker, ville det kun give 22 sammenligninger – kun 22 chancer for folk at dele den samme fødselsdag.
Men når alle 23 fødselsdage sammenlignes med hinanden, udgør det meget mere end 22 sammenligninger. Hvor meget mere? Nå, den første person har 22 sammenligninger at lave, men den anden person blev allerede sammenlignet med den første person, så der er kun 21 sammenligninger at lave. Den tredje person har derefter 20 sammenligninger, den fjerde person har 19 og så videre. Hvis du sammenlægger alle mulige sammenligninger (22 + 21 + 20 + 19 +… +1) er summen 253 sammenligninger eller kombinationer. Derfor involverer hver gruppe på 23 personer 253 sammenligninger eller 253 chancer for at matche fødselsdage.
Materialer
• Grupper på 23 eller flere personer (10 til 12 sådanne grupper) eller en kilde med tilfældige fødselsdage (se Forberedelse nedenfor for tip)
• Papir og pen eller blyant
• Lommeregner (valgfrit)
Forberedelse
• Saml fødselsdage til tilfældige grupper på 23 eller flere personer. Ideelt set skulle du få 10 til 12 grupper på 23 eller flere personer, så du har nok forskellige grupper til at sammenligne. (Du har ikke brug for året til fødselsdage, bare måned og dag.)
• Tip: Her er et par måder, du kan finde et antal tilfældigt grupperede mennesker på: Bed skolelærere om at sende en liste omkring hver af deres klasser for at indsamle fødselsdage for studerende i klassen (de fleste skoler har omkring 25 elever i en klasse); brug fødselsdage for spillere på baseballhold i de store ligaer (disse oplysninger kan let findes på Internettet) eller brug fødselsdage af andre tilfældige personer, der bruger online kilder.
Fremgangsmåde
• For hver gruppe på 23 eller flere fødselsdage, som du har samlet, skal du sortere dem for at se, om der er fødselsdagskampe i hver gruppe.
• Hvor mange af dine grupper har to eller flere personer med samme fødselsdag? Hvor mange grupper forventer du, baseret på fødselsdagsparadoxet, der har to personer med samme fødselsdag? Gør fødselsdagsparadoxet sandt?
• Ekstra: I dette aktivitet brugte du en gruppe på 23 eller flere personer, men du kunne prøve det ved hjælp af større grupper. Hvis du brug en gruppe på 366 personer – det største antal dage om året kan have – oddsene for, at to personer har samme fødselsdag er 100 procent (ekskl. 29. februar skudårs fødselsdage), men hvad tror du oddsene er i en gruppe af 60 eller 75 personer?
• Ekstra: Terningkast er en fantastisk måde at undersøge sandsynligheden for. Du kan prøve at kaste tre 10-sidede terninger og fem seks-sidede terninger 100 gange hver og registrere resultaterne af hver kast. Beregn den matematiske sandsynlighed for at få en sum højere end 18 for hver kombination af terninger, når du kaster dem 100 gange. (Dette websted kan lære dig, hvordan du beregner sandsynlighed: Sandsynlighed centralt fra Oracle ThinkQuest.) Hvilken kombination har en højere matematisk sandsynlighed, og var det sandt, da du rullede dem?
Observation og resultater
Gjorde ca. 50 procent grupperne på 23 eller flere personer inkluderer mindst to personer med samme fødselsdag?
Når man sammenligner sandsynligheder med fødselsdage, kan det være lettere at se på sandsynligheden for, at folk ikke deler en fødselsdag. En persons fødselsdag er en ud af 365 muligheder (ekskl. 29. februar fødselsdage). Sandsynligheden for, at en person ikke har den samme fødselsdag som en anden person er 364 divideret med 365, fordi der er 364 dage, der ikke er en persons fødselsdag . Dette betyder, at to personer har 364/365 eller 99,726027 procent chance for ikke at matche fødselsdage.
Som nævnt tidligere er der i en gruppe på 23 personer 253 sammenligninger eller kombinationer, der kan blive lavet. Så vi ser ikke kun på en sammenligning, men på 253 sammenligninger. Hver af de 253 kombinationer har de samme odds, 99,726027 procent, for ikke at være en kamp. Hvis du multiplicerer 99,726027 procent med 99.726027 253 gange, eller beregne (364/365) 253, vil du finde “49,952 procents chance for, at alle 253 sammenligninger ikke indeholder nogen matches. Derfor er oddsene for, at der er en fødselsdagskamp i disse 253 sammenligninger, 1 – 49,952 procent = 50,048 procent eller lidt over halvdelen! Jo flere forsøg du kører, jo tættere skal den faktiske sandsynlighed nærme sig 50 procent.
Mere at udforske
“Forstå fødselsdagsparadoxet” fra BetterExplained
“Probability Central” fra Oracle ThinkQuest
“Kombinationer og permutationer” fra MathIsFun og “Fødselsdagsparadoxet” fra Science Buddies
Denne aktivitet blev bragt til dig i partnerskab med Science Buddies