Sammensat rente

Periodisk sammensætningEdit

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P “= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

hvor:

P er den oprindelige hovedsum P” er den nye hovedsum r er den nominelle årlige rente n er sammensætningsfrekvensen t er den samlede tid, renten anvendes (udtrykt ved hjælp af de samme tidsenheder som r, normalt år).

Den samlede sammensatte rente er den endelige værdi minus den oprindelige hovedstol:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ højre) ^ {nt} -P}

Eksempel 1Rediger

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Så den nye principale P {\ displaystyle P “} efter 6 år er cirka $ 1.938,84.

Trækning af den oprindelige hovedstol fra dette beløb giver den modtagne rente:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Eksempel 2Rediger

P ′ = 1500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ gange \ tilbage (1+ ( 0,043 \ gange 2) \ højre) ^ {\ frac {6} {2}} \ ca. 1 \, 921.24}

Så er saldoen efter 6 år ca. $ 1.921,24.

Mængden af modtaget rente kan beregnes ved at trække hovedstolen fra dette beløb.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Interessen er mindre sammenlignet med det foregående tilfælde på grund af den lavere blandingsfrekvens.

AkkumuleringsfunktionRediger

Da hovedp er simpelthen en koefficient, det droppes ofte for enkelhedens skyld, og den resulterende akkumuleringsfunktion bruges i stedet. Akkumuleringsfunktionen viser, hvad $ 1 vokser til efter en længere periode.

Akkumuleringsfunktioner for enkel og sammensat interesse er

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Hvis nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, så er disse to funktioner de samme.

Kontinuerlig sammensætningEdit

Som n antallet af sammensætningsperioder pr. år stiger uden grænse, sagen kaldes kontinuerlig sammensætning, i hvilket tilfælde den effektive årlige sats nærmer sig en øvre grænse på er – 1, hvor e er en matematisk konstant, der er basen for det logaritme.

Kontinuerlig sammensætning kan betragtes som at gøre sammensætningsperioden uendeligt lille, opnået ved at tage grænsen, når n går til uendelig. Se definitioner af den eksponentielle funktion for det matematiske bevis for denne grænse. Mængden efter t perioder med kontinuerlig sammensætning kan udtrykkes som den oprindelige mængde P0 som

P (t) = P0 e rt. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force of interestEdit

Da antallet af sammensætningsperioder n {\ displaystyle n} når uendeligt i kontinuerlig sammensætning, den kontinuerlige sammensatte rente betegnes som interesse af δ {\ displaystyle \ delta}.

I matematik udtrykkes akkumuleringsfunktionerne ofte i form af e, basen for den naturlige logaritme. Dette letter brugen af beregning til at manipulere renteformler.

For enhver kontinuerligt differentierbar akkumuleringsfunktion er a (t), interessekraften eller mere generelt den logaritmiske eller kontinuerligt sammensatte retur en funktion af tid defineret som følger:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Dette er den logaritmiske afledte af akkumuleringsfunktionen.

Omvendt:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (da a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; dette kan ses som et bestemt tilfælde af et produktintegral).

Når ovenstående formel er skrevet i differentialligningsformat, så er interesse for kraften simpelthen koefficienten for ændringsmængde:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

For sammensat rente med en konstant årlig rente r, rentekraften er en konstant t, og akkumuleringsfunktionen af sammensat interesse med hensyn til interesse af kraft er en simpel styrke af e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } eller a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Rentekraften er mindre end den årlige effektive rente, men mere end den årlige effektive rabat sats. Det er den gensidige e-foldningstid. Se også notering af rentesatser.

Sammensætningsgrundlag Rediger

For at konvertere en rente fra en sammensat basis til en anden sammensat basis, brug

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ venstre {n_ {2}},}

hvider1 er rentesatsen med sammensætningsfrekvens n1, ogr2 er renten med sammensat frekvens n2.

Når interessen løbende er sammensat, skal du bruge

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ til højre)},}

hvor δ {\ displaystyle \ delta} er rentesatsen på en kontinuerlig sammensat basis, ogr er den angivne rentesats med en sammensætningsfrekvens n.

Månedligt amortiseret lån eller pant paymentsEdit

Renterne på lån og pant, der afskrives – dvs. have en jævn månedlig betaling, indtil lånet er afbetalt – er ofte sammensat månedligt. Formlen for betalinger findes fra følgende argument.

Præcis formel for månedlig betaling Rediger

En nøjagtig formel for den månedlige betaling (c {\ displaystyle c}) er

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}

eller ækvivalent

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

hvor:

c {\ displaystyle c} = månedlig betaling P {\ displaystyle P} = hovedr {\ displaystyle r} = månedlig rente n {\ displaystyle n} = antal betalingsperioder

Dette kan udledes ved at overveje, hvor meget der er tilbage, der skal tilbagebetales efter hver måned.
Den resterende resterende efter den første måned er

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

det vil sige oprindeligt beløb plus renter minus betalingen.
Hvis hele lånet tilbagebetales efter en måned,

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, så P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Efter den anden måned er P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} tilbage, så

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Hvis hele lånet blev tilbagebetalt efter to måneder,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, så P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

som kan omarrangeres for at give

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Regnearkformel

I regneark er PMT ( ) funktion bruges. Syntaksen er:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Se Excel, Mac-numre, LibreOffice, Open Office, Google Sheets for flere detaljer.

For eksempel til rentesats på 6% (0,06 / 12), 25 år * 12 pa, PV på $ 150.000, FV på 0, type 0 giver:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Anslået formel for månedlig betaling Rediger

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

hvilket foreslår at definere hjælpevariabler

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Her er c 0 {\ displaystyle c_ {0}} den månedlige betaling, der kræves for et nul-rentelån, der er betalt i n {\ displaystyle n} rater. Med hensyn til disse variabler kan tilnærmelsen skrives

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funktionen f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} er jævn:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

hvilket betyder, at den kan udvides i lige kræfter af Y {\ displaystyle Y}.

Det vil vise sig bekvemt at definere

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

så

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

som kan udvides:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ højre)}

hvor ellipserne angiver udtryk, der er højere orden i lige kræfter af X {\ displaystyle X}. Udvidelsen

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ højre)}

er gyldig til bedre end 1%, forudsat at X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Eksempel på betaling af pant Rediger

For et 10.000 $ pant med en periode på 30 år og en notesats på 4,5%, der skal betales årligt, finder vi:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

hvilket giver

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

så

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + .675 + .675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investering: månedlige indskud Rediger

Givet et hovedindskud (indledende) indskud og et tilbagevendende indskud, kan det samlede afkast af en investering beregnes via den opnåede sammensatte rente pr. tidsenhed. Hvis det er nødvendigt, kan renterne på yderligere engangs- og tilbagevendende indskud også defineres inden for samme formel (se nedenfor).

P {\ displaystyle P} = Hovedindskud r {\ displaystyle r} = Afkastprocent ( månedligt) M {\ displaystyle M} = Månedlig indbetaling og t {\ displaystyle t} = Tid, i måneder M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Hvis der forekommer to eller flere typer aflejringer (enten tilbagevendende eller ikke-gentagne), er forbindelsen optjent rente kan repræsenteres som

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} hvor C og k er henholdsvis ikke-tilbagevendende og tilbagevendende indskud, og x og y er tidsforskellene mellem en ny indbetaling og hvilken variabel t {\ displaystyle t} er modellering.