Biografi
Srinivasa Ramanujan var en af Indiens største matematiske genier. Han bidrog væsentligt med den analytiske teori om tal og arbejdede med elliptiske funktioner , fortsatte fraktioner og uendelige serier.
Ramanujan blev født i sin bedstemors hus i Erode, en lille landsby omkring 400 km sydvest for Madras (nu Chennai). Da Ramanujan var et år gammel, tog hans mor ham med til byen Kumbakonam, cirka 160 km nærmere Madras. Hans far arbejdede i Kumbakonam som kontorist i en tøjhandlerbutik. I december 1889 fik han kopper.
Da han var næsten fem år gammel, gik Ramanujan ind i grundskolen i Kumbakonam, selvom han ville gå på flere forskellige grundskoler før ved at komme ind på Town High School i Kumbakonam i januar 1898. På Town High School skulle Ramanujan klare sig godt i alle sine skolefag og viste sig en dygtig forsker. I 1900 begyndte han at arbejde alene med matematik, der opsummerede geometrisk og aritmetiske serier.
Ramanujan blev vist, hvordan man skulle løse kubiske ligninger i 1902, og han fortsatte med at finde sin egen metode til at løse kvartik. Det følgende år uden at vide, at kvintikken ikke kunne løses af radikaler, forsøgte han (og naturligvis mislykkedes) at løse kvintikken.
Det var i Town High School, at Ramanujan stødte på en matematikbog af GS Carr kaldet Synopsis of elementary results in pure mathematics. Denne bog med sin meget koncise stil tillod Ra manujan at lære sig selv matematik, men stilen med bogen var at have en ret uheldig effekt på den måde, Ramanujan senere skulle nedskrive matematik, da den gav den eneste model, han havde af skrevne matematiske argumenter. Bogen indeholdt sætninger, formler og korte beviser. Det indeholdt også et indeks over papirer om ren matematik, som var blevet offentliggjort i de europæiske tidsskrifter for lærte samfund i første halvdel af det 19. århundrede. Bogen, der blev offentliggjort i 1886, var naturligvis godt forældet, da Ramanujan brugte den.
I 1904 var Ramanujan begyndt at foretage dyb forskning. Han undersøgte serien ∑ (1n) \ sum (\ large \ frac {1} {n} \ normalsize) ∑ (n1) og beregnede Eulers konstant til 15 decimaler. Han begyndte at studere Bernoulli-tallene, selvom dette var udelukkende hans egen uafhængige opdagelse.
Ramanujan fik på grund af hans gode skolearbejde et stipendium til Government College i Kumbakonam, som han kom ind i 1904. Men året efter blev hans stipendium ikke fornyet, fordi Ramanujan afsatte mere og mere af sin tid til matematik og forsømte sine andre fag. Uden penge var han snart i vanskeligheder, og uden at fortælle sine forældre løb han væk til byen Vizagapatnam omkring 650 km nord for Madras. Han fortsatte dog sit matematiske arbejde og på dette tidspunkt arbejdede han på hypergeometriske serier og undersøgte forholdet mellem integraler og serier. Han skulle senere opdage, at han havde studeret elliptiske funktioner.
I 1906 gik Ramanujan til Madras, hvor han trådte ind i Pachaiyappas College. Hans mål var at bestå den første kunsteksamen, som gjorde det muligt for ham at blive optaget på University of Madras. Han deltog i forelæsninger på Pachaiyappas kollegium, men blev syg efter tre måneders studier. Han tog den første kunsteksamen efter at have forladt kurset. Han bestod i matematik, men bestod ikke alle sine andre fag og undlod derfor eksamen. Dette betød, at han ikke kunne gå ind i universitetet i Madras. I de følgende år arbejdede han med matematik med at udvikle sine egne ideer uden hjælp og uden nogen reel idé om de daværende aktuelle forskningsemner ud over det, der blev leveret af Carrs bog.
Fortsat sit matematiske arbejde Ramanujan studerede fortsatte fraktioner og divergerende serier i 1908. På dette tidspunkt blev han alvorligt syg igen og gennemgik en operation i april 1909, hvorefter han tog ham nogen tid til at komme sig. Han blev gift den 14. juli 1909, da hans mor sørgede for, at han skulle gifte sig med en ti-årig pige S Janaki Ammal. Ramanujan boede dog ikke med sin kone, før hun var tolv år gammel.
Ramanujan fortsatte med at udvikle sine matematiske ideer og begyndte at stille problemer og løse problemer i Journal of the Indian Mathematical Society. Han udbrød forholdet mellem elliptiske modulligninger i 1910. Efter offentliggørelsen af et strålende forskningsoplæg om Bernoulli-numre i 1911 i Journal of the Indian Mathematical Society fik han anerkendelse for sit arbejde. På trods af hans manglende universitetsuddannelse blev han velkendt i Madras-området som et matematisk geni.
I 1911 henvendte Ramanujan sig til grundlæggeren af det indiske matematiske samfund for at få råd om et job. Derefter blev han udnævnt til sit første job, en midlertidig stilling i regnskabsførerens kontor i Madras. Det blev derefter foreslået, at han henvendte sig til Ramachandra Rao, som var samler i Nellore.Ramachandra Rao var grundlægger af det indiske matematiske samfund, der havde hjulpet med at starte matematikbiblioteket. Han skriver i: –
En kort usynlig figur, stout, ubarberet, ikke over ren, med et iøjnefaldende træk-skinnende øjne – gik ind med en flosset notesbog under armen. Han var elendig fattig. … Han åbnede sin bog og begyndte at forklare nogle af sine opdagelser. Jeg så med det samme, at der var noget ude af vejen; men min viden tillod mig ikke at bedømme, om han talte fornuft eller vrøvl. … Jeg spurgte ham, hvad han ville have. Han sagde, at han ønskede en skam at leve videre, så han kunne forfølge sine undersøgelser.
Ramachandra Rao bad ham vende tilbage til Madras, og han forsøgte uden held at arrangere et stipendium til Ramanujan. I 1912 ansøgte Ramanujan om stillingen som kontorassistent i regnskabet i Madras Port Trust. I sit ansøgningsbrev skrev han: –
Jeg har bestået studentereksamen og studeret op til de første kunstarter, men blev forhindret i at fortsætte mine studier yderligere på grund af flere uheldige omstændigheder. Jeg har dog brugt al min tid på matematik og udviklet emnet.
På trods af at han ikke havde nogen universitetsuddannelse, var Ramanujan tydeligt kendt af universitetsmatematikerne i Madras for med sit ansøgningsbrev inkluderede Ramanujan en henvisning fra EW Middlemast, der var professor i matematik ved The Presidency College i Madras. Middlemast, kandidat fra St Johns College, Cambridge, skrev: –
Jeg kan på det kraftigste anbefale ansøgeren. Han er en ung mand med enestående kapacitet inden for matematik og især i arbejde vedrørende tal. Han har en naturlig beregningsevne og er meget hurtig på figurarbejde.
På baggrund af henstillingen blev Ramanujan udnævnt til kontorist og begyndte sine opgaver 1. marts 1912. Ramanujan var ret heldig at have et antal mennesker, der arbejdede omkring ham med en uddannelse i matematik. Faktisk blev hovedkontor for Madras Port Trust, SN Aiyar, uddannet som matematiker og offentliggjorde et papir om distribution af primerer i 1913 på Ramanujans arbejde. Professoren i civilingeniør ved Madras Engineering College CLT Griffith var også interesseret i Ramanujans evner og kendte, efter at have været uddannet ved University College London, professoren i matematik der, nemlig MJM Hill. Han skrev til Hill den 12. november 1912 og sendte noget af Ramanujans arbejde og en kopi af hans 1911-papir om Bernoulli-numre.
Hill svarede på en temmelig opmuntrende måde, men viste, at han ikke havde forstået Ramanujans resultater om divergerende serier. Henstillingen til Ramanujan, som han læste Bromwichs teori om uendelige serier glædede Ramanujan ikke meget. Ramanujan skrev til E W Hobson og H F Baker og prøvede at interessere dem i hans resultater, men ingen af dem svarede. I januar 1913 skrev Ramanujan til GH Hardy efter at have set en kopi af hans bog fra 1910 Orders of infinity. I Ramanujans brev til Hardy introducerede han sig selv og sit arbejde: –
Jeg har ikke haft nogen universitetsuddannelse, men jeg har gennemgået det almindelige skolekursus. Efter at have forladt skolen har jeg været ansat fritid til min rådighed for at arbejde i matematik. Jeg har ikke gået igennem det konventionelle regelmæssige kursus, der følges på et universitetsforløb, men jeg stikker en ny vej for mig selv. Jeg har lavet en særlig undersøgelse af divergerende serier generelt og de resultater, jeg får, kaldes de lokale matematikere som “forbløffende”.
Hardy studerede sammen med Littlewood den lange liste over ubevisste sætninger, som Ramanujan vedlagte med sit brev. Den 8. februar svarede han til Ramanujan, brevet begyndte: –
Jeg var meget interesseret i dit brev og de sætninger, som du angiver. Det vil du dog forstå, før jeg kan bedømme ordentligt værdi af det, du har gjort, er det vigtigt, at Jeg skulle se bevis for nogle af dine påstande. Det ser ud til, at dine resultater falder i cirka tre klasser:
(1) der er et antal resultater, der allerede er kendt, eller som let kan afledes fra kendte sætninger;
(2) der er resultater, som så vidt Jeg ved, er nye og interessante, men interessante snarere ud fra deres nysgerrighed og tilsyneladende vanskeligheder end deres betydning;
(3) der er resultater, der ser ud til at være nye og vigtige …
Ramanujan var meget tilfreds med Hardys svar, og da han skrev igen, sagde han: –
Jeg har fundet en ven i dig, der ser mine arbejder sympatisk op … Jeg er allerede en halv sultende mand. For at bevare mine hjerner vil jeg have mad, og dette er min første overvejelse. Ethvert sympatisk brev fra dig vil være nyttigt for mig her for at få et stipendium enten fra universitetet fra regeringen.
University of Madras gav faktisk Ramanujan et stipendium i maj 1913 i to år, og i 1914 bragte Hardy Ramanujan til Trinity College, Cambridge, for at indlede et ekstraordinært samarbejde. Det var ikke let at oprette dette. Ramanujan var en ortodoks brahmin, og det samme var en streng vegetar. Hans religion skulle have forhindret ham i at rejse, men denne vanskelighed blev overvundet, dels af arbejdet fra EH Neville, som var en kollega fra Hardy på Trinity College, og som mødtes med Ramanujan mens han forelæsede i Indien.
Ramanujan sejlede fra Indien videre 17. marts 1914. Det var en rolig rejse med undtagelse af tre dage, hvor Ramanujan var søsyg. Han ankom til London den 14. april 1914 og blev mødt af Neville. Efter fire dage i London rejste de til Cambridge og Ramanujan tilbragte et par uger i Nevilles hjem inden han flyttede ind i lokaler i Trinity College den 30. april. Lige fra starten havde han dog problemer med sin diæt. Udbruddet af den første verdenskrig gjorde det vanskeligere at få specielle madvarer, og det varede ikke længe, før Ramanujan havde helbredsproblemer.
Lige fra starten førte Ramanujans samarbejde med Hardy til vigtige resultater. Hardy var dog usikker på, hvordan man skulle nærme sig problemet med Ramanujans mangel på formel uddannelse. Han skrev: –
Hvad skulle der gøres for at lære ham moderne matematik? Begrænsningerne i hans viden var lige så forbløffende som dens dybde.
Littlewood blev bedt om at hjælpe med at undervise Ramanujan i strenge matematiske metoder. Men han sagde (): –
… at det var ekstremt vanskeligt, fordi hver gang noget spørgsmål, som man troede, at Ramanujan havde brug for at vide, blev nævnt, blev Ramanujans svar nævnt. var en lavine af originale ideer, som gjorde det næsten umuligt for Littlewood at fortsætte med sin oprindelige hensigt.
Krigen tog snart Littlewood væk på krigstjeneste, men Hardy forblev i Cambridge for at arbejde med Ramanujan Selv i sin første vinter i England var Ramanujan syg, og han skrev i marts 1915, at han havde været syg på grund af vintervejret og ikke havde været i stand til at offentliggøre noget i fem måneder. Det, han offentliggjorde, var det arbejde, han gjorde i England, da beslutningen var truffet, at de resultater, han havde opnået i Indien, hvoraf mange han havde meddelt Hardy i sine breve, ikke ville blive offentliggjort, før krigen var afsluttet.
Den 16. marts 1916 tog Ramanujan eksamen fra Cambridge med en Bachelor of Arts fra Research (graden blev kaldt en Ph.D. f rom 1920). Han havde fået lov til at tilmelde sig i juni 1914 på trods af at han ikke havde de rette kvalifikationer. Ramanujans afhandling handlede om meget sammensatte tal og bestod af syv af hans papirer, der blev offentliggjort i England.
Ramanujan blev alvorligt syg i 1917, og hans læger frygtede, at han ville dø. Han forbedrede sig lidt inden september, men tilbragte det meste af sin tid på forskellige plejehjem. I februar 1918 skrev Hardy (se): –
Batty Shaw fandt ud af, hvad andre læger ikke vidste, at han havde gennemgået en operation for omkring fire år siden Hans værste teori var, at dette virkelig havde været til fjernelse af en ondartet vækst, fejlagtigt diagnosticeret. I betragtning af at Ramanujan ikke er værre end for seks måneder siden, har han nu forladt denne teori – de andre læger gav den aldrig noget støtte. Tuberkel har været den foreløbigt accepterede teori, bortset fra dette, siden den oprindelige idé om mavesår blev opgivet … Som alle indianere er han fatalistisk, og det er frygteligt svært at få ham til at tage sig af sig selv. div id = “26083ad0ac”> Den 18. februar 1918 var Ramanujan valgte en stipendiat fra Cambridge Philosophical Society og derefter tre dage senere, den største ære, han ville modtage, kom hans navn op på listen til valg som stipendiat i Royal Society of London. Han var blevet foreslået af en imponerende liste over matematikere, nemlig Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth og Whitehead. Hans valg til stipendiat i Royal Society blev bekræftet den 2. maj 1918, derefter den 10. oktober 1918 blev han valgt til stipendiat fra Trinity College Cambridge, stipendiet til at køre i seks år.
Den æresbevisning, der blev tildelt Ramanujan, syntes for at hjælpe hans helbred med at forbedre sig lidt, og han fornyede sin kraft til at producere matematik. Ved udgangen af november 1918 var Ramanujans helbred forbedret meget. Hardy skrev i et brev: –Jeg tror, vi håber måske nu, at han er vendt til hjørne og er på vej til en reel bedring. Hans temperatur er ophørt med at være uregelmæssig, og han har fået næsten en sten i vægt … Der har aldrig været tegn på nogen formindskelse i hans ekstraordinære matematiske talenter. Han har naturligvis produceret mindre under hans sygdom, men kvaliteten har været den samme ….
Han vender tilbage til Indien med en videnskabelig status og omdømme som ingen indianer har haft før, og jeg er overbevist om, at Indien vil betragte ham som den skat, han er. Hans naturlige enkelhed og beskedenhed er aldrig blevet påvirket i det mindste af succes – det eneste, der ønskes, er at få ham til at indse, at han virkelig er en succes.Ramanujan sejlede til Indien den 27. februar 1919 ankommer den 13. marts. Hans helbred var dog meget dårligt, og på trods af medicinsk behandling døde han der året efter.
Brevene, som Ramanujan skrev til Hardy i 1913, havde indeholdt mange fascinerende resultater. Ramanujan udarbejdede Riemann-serien, de elliptiske integraler, hypergeometriske serier og funktionelle ligninger af zeta-funktionen. På den anden side havde han kun en vag idé om, hvad der udgør et matematisk bevis. På trods af mange strålende resultater var nogle af hans sætninger om primtal helt forkerte.
Ramanujan opdagede uafhængigt resultaterne af Gauss, Kummer og andre om hypergeometriske serier. Ramanujans eget arbejde med delvise summer og produkter fra hypergeometriske serier har ført til en væsentlig udvikling i emnet. Måske var hans mest berømte arbejde om antallet p (n) af skillevægge af et heltal nnn i sommer. MacMahon havde produceret tabeller over værdi af p (n) p (n) p (n) for små tal nnn, og Ramanujan brugte disse numeriske data til at formode nogle bemærkelsesværdige egenskaber, hvoraf nogle viste han sig ved hjælp af elliptiske funktioner. Andre blev kun bevist efter Ramanujans død.
I et fælles papir med Hardy gav Ramanujan en asymptotisk formel for p (n) p (n) p (n). Det havde den bemærkelsesværdige egenskab, at det så ud til at give den korrekte værdi af p (n) p (n) p (n), og dette blev senere bevist af Rademacher.
Ramanujan efterlod et antal upublicerede notesbøger fyldt med sætninger, som matematikere er fortsat med at studere. GN Watson, professor i ren matematik i Birmingham fra 1918 til 1951, udgav 14 papirer under den generelle titel sætninger, som Ramanujan sagde, og i alt udgav han næsten 30 artikler, der var inspireret af Ramanujans arbejde. Hardy videreførte til Watson det store antal af manuskripter fra Ramanujan, som han havde, både skrevet før 1914 og nogle skrevet i Ramanujan sidste år i Indien før hans død.
Billedet ovenfor er taget fra et frimærke udstedt af det indiske posthus for at fejre 75-årsdagen for hans fødsel.