Den eksponentielle distribution er en af de udbredte kontinuerlige distributioner. Det bruges ofte til at modellere den forløbne tid mellem begivenhederne. Vi vil nu matematisk definere den eksponentielle fordeling og udlede dens gennemsnitlige og forventede værdi. Derefter vil vi udvikle intuitionen til distributionen og diskutere flere interessante egenskaber, den har.

Figur 4.5 viser PDFen med eksponentiel fordeling for flere værdier på $ \ lambda $.

Lad $ X \ sim Eksponentiel (\ lambda) $. Vi kan finde dens forventede værdi som følger ved hjælp af integration af dele:

Lad os nu finde Var $ (X) $. Vi har

Således vi får $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

En interessant egenskab ved den eksponentielle fordeling er, at den kan ses som en kontinuerlig analog for at se dette, husk det tilfældige eksperiment bag den geometriske fordeling: du kaster en mønt (gentag et Bernoulli-eksperiment), indtil du observerer de første hoveder (succes). Antag nu, at møntkastene er $ \ Delta $ sekunder fra hinanden, og i hvert kast er sandsynligheden for succes $ p = \ Delta \ lambda $. Antag også, at $ \ Delta $ er meget lille, så møntkastene ligger meget tæt på hinanden i tid, og sandsynligheden for succes i hvert forsøg er meget lav. Lad $ X $ være den tid, du observerer firen st succes. Vi viser i afsnittet Løste problemer, at fordelingen af $ X $ konvergerer til $ Exponential (\ lambda) $, da $ \ Delta $ nærmer sig nul.

For at få lidt intuition til denne fortolkning af den eksponentielle fordeling Antag, at du venter på, at en begivenhed skal ske. For eksempel er du i en butik og venter på den næste kunde. I hvert millisekund er sandsynligheden for, at en ny kunde kommer ind i butikken, meget lille. Du kan forestille dig, at der i hvert millisekund kastes en mønt (med en meget lille $ P (H) $), og hvis den lander, kommer nye kunder ind. Hvis du kaster en mønt hvert millisekund, følger tiden, indtil en ny kunde ankommer, cirka en eksponentiel fordeling.

Ovenstående fortolkning af den eksponentielle er nyttig til bedre at forstå egenskaberne ved den eksponentielle distribution. Den vigtigste af disse egenskaber er, at den eksponentielle fordeling er hukommelsesløs. For at se dette skal du tænke på en eksponentiel tilfældig variabel i betydningen at kaste mange mønter, indtil du observerer de første hoveder. Hvis vi kaster mønten flere gange og ikke ser hoveder, er det fra nu af som om vi starter forfra. Med andre ord påvirker de mislykkede møntkast ikke fordelingen af ventetiden fra nu af. Årsagen til dette er, at møntkastene er uafhængige. Vi kan angive dette formelt som følger: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Fra synspunktet på ventetid til en kundes ankomst betyder den hukommelsesløse ejendom, at det ikke betyder noget, hvor længe du har ventet indtil nu. Hvis du ikke har observeret en kunde før tid $ a $, er fordelingen af ventetid (fra tid $ a $) indtil den næste kunde den samme som da du startede på tidspunktet nul. Lad os bevise den hukommelsesløse egenskab af den eksponentielle fordeling. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}