Mens lodrette asymptoter beskriver en grafs opførsel, da output bliver meget stor eller meget lille, hjælper vandrette asymptoter med at beskrive en grafs opførsel, da input bliver meget stort eller meget lille. Husk på, at et polynomers slutadfærd vil afspejle den for det ledende udtryk. Ligeledes vil en rationel funktions slutadfærd afspejle forholdet mellem de tæller- og nævnerfunktioners førende termer.
Der er tre forskellige resultater, når der kontrolleres for vandrette asymptoter: 1: Hvis tællerens > grad af tæller, er der en vandret asymptote ved y = 0.
Tilfælde 2: Hvis graden af nævneren < tællerens grad én, får vi en skrå asymptote.
Bemærk, at mens grafen for en rationel funktion aldrig vil krydse en lodret asymptote, grafen krydser måske eller ikke en vandret eller skrå asymptote. Selvom grafen for en rationel funktion kan have mange lodrette asymptoter, vil grafen højst have en vandret (eller skrå) asymptote.
Det skal bemærkes, at hvis graden af tælleren er større end graden af nævneren med mere end en, vil grafens slutadfærd efterligne opførelsen af den reducerede slutadfærd \ fraktion. For eksempel, hvis vi havde funktionen
med slutadfærd
grafens slutadfærd vil se ud som en jævn polynom med en positiv ledende koefficient.
En generel note: Horisontale asymptoter af Rationelle funktioner
Den rationelle funktions vandrette asymptote kan bestemmes ved at se på graderne på tælleren og nævneren.
- Tællergrad er mindre end graden af nævneren: vandret asymptote ved y = 0.
- Tællergraden er større end nævneren med én: ingen vandret asymptote; skrå asymptote.
- Tællergrad er lig med nævneren: vandret asymptote i forholdet mellem de ledende koefficienter.
En generel note: Aflytninger af rationelle funktioner
En rationel funktion har en y-skæring, når input er nul, hvis funktionen er defineret som nul. En rationel funktion har ikke en y-skæring, hvis funktionen ikke er defineret som nul.
Ligeledes vil en rationel funktion have x-aflytninger ved indgangene, der får output til at være nul. Da en \ fraktion kun er lig med nul, når tælleren er nul, kan x-aflytninger kun forekomme, når tælleren for den rationelle funktion er lig med nul.
Prøv det 7
I betragtning af den gensidige kvadrerede funktion, der er forskudt til højre 3 enheder og ned 4 enheder, skriv dette som en rationel funktion. Find derefter x– og y-aflytningerne og de vandrette og lodrette asymptoter.
Løsning