Hans værker
Der findes ni afhandlinger af Archimedes på græsk. De vigtigste resultater i On the Sphere and Cylinder (i to bøger) er, at overfladearealet af en hvilken som helst sfære med radius r er fire gange så stor som dens største cirkel (i moderne notation, S = 4πr2), og at volumenet af en sfære er to tredjedele af den cylinder, hvori den er indskrevet (fører straks til formlen for volumen, V = 4 / 3πr3). Archimedes var stolt nok af sidstnævnte opdagelse til at efterlade instruktioner til sin grav, der skulle markeres med en kugle indskrevet i en cylinder. Marcus Tullius Cicero (106–43 fvt) fandt graven, tilgroet med vegetation, halvandet århundrede efter Archimedes død.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Måling af cirklen er et fragment af et længere værk, hvor π (pi), forholdet mellem omkredsen og diameteren af en cirkel, er vist at ligge mellem grænserne på 3 10/71 og 3 1/7. Archimedes tilgang til bestemmelse af π, som består i at indskrive og omskrive regelmæssige polygoner med et stort antal sider, blev fulgt af alle indtil udviklingen af uendelige serieudvidelser i Indien i det 15. århundrede og i Europa i det 17. århundrede. Dette arbejde indeholder også nøjagtige tilnærmelser (udtrykt som forholdet mellem heltal) til kvadratrødderne på 3 og flere store tal.
On Conoids og Spheroids beskæftiger sig med bestemmelse af volumener af segmenterne af faste stoffer dannet af revolutionen af et keglesnit (cirkel, ellipse, parabel eller hyperbola) omkring dens akse. I moderne termer er det problemer med integration. (Se beregning.) On Spirals udvikler mange egenskaber ved tangenter til og områder forbundet med Archimedes-spiralen – dvs. stedet for et punkt, der bevæger sig med ensartet hastighed langs en lige linje, der selv roterer med ensartet hastighed omkring et fast punkt . Det var en af kun få kurver ud over den lige linje og de keglesnit, der er kendt i antikken.
Om ligevægten mellem planer (eller centre for tyngdekraften i fly; i to bøger) er hovedsagelig beskæftiget med at etablere tyngdepunkter for forskellige retlinede planfigurer og segmenter af parabolen og paraboloidet. Den første bog foregiver at etablere “løftestangsloven” (størrelsesbalance i afstande fra omdrejningspunktet i omvendt forhold til deres vægt), og det er hovedsageligt på baggrund af denne afhandling, at Archimedes er blevet kaldt grundlæggeren af teoretisk mekanik. Meget af denne bog er dog utvivlsomt ikke autentisk, som den består af uhensigtsmæssige senere tilføjelser eller omarbejdninger, og det synes sandsynligt, at det grundlæggende princip i loven om løftestang og – muligvis – begrebet tyngdepunkt blev etableret på matematisk basis af forskere tidligere end Archimedes. Hans bidrag var snarere at udvide disse begreber til keglesnit.
Parabolens kvadratur demonstrerer først ved “mekaniske” midler (som i Metoden, diskuteret nedenfor) og derefter ved konventionelle geometriske metoder, at arealet af et hvilket som helst segment af en parabel er 4/3 af arealet af trekanten med samme base og højde som det segment. Det er igen et problem i integrationen.
Sand-Reckoner er en lille afhandling, der er en jeu desprit skrevet til lægmanden – den er rettet til Gelon, søn af Hieron – som ikke desto mindre indeholder nogle dybt originale matematik. Formålet er at afhjælpe manglerne ved det græske numeriske notationssystem ved at vise, hvordan man kan udtrykke et stort antal – antallet af sandkorn, som det tager at fylde hele universet. Hvad Archimedes faktisk gør, er at skabe et stedværdisystem med notation med en base på 100.000.000. (Det var tilsyneladende en helt original idé, da han ikke havde kendskab til det nutidige babylonske stedværdisystem med base 60.) Arbejdet er også af interesse, fordi det giver den mest detaljerede overlevende beskrivelse af det heliocentriske system Aristarchus af Samos ( c. 310-230 bce) og fordi den indeholder en redegørelse for en genial procedure, som Archimedes brugte til at bestemme solens tilsyneladende diameter ved observation med et instrument.
Metode vedrørende mekaniske sætninger beskriver en opdagelsesproces i matematik . Det er det eneste overlevende arbejde fra oldtiden, og et af de få fra enhver periode, der beskæftiger sig med dette emne.I den fortæller Archimedes, hvordan han brugte en “mekanisk” metode til at nå frem til nogle af hans nøgleopdagelser, herunder arealet af et parabolsk segment og en kugles overfladeareal og volumen. Teknikken består i at opdele hver af to figurer i et uendeligt men lige stort antal uendeligt tynde strimler og derefter “vejer” hvert tilsvarende par af disse strimler mod hinanden på en teoretisk balance for at opnå forholdet mellem de to originale figurer. Archimedes understreger, at denne procedure, selvom den er nyttig som en heuristisk metode, ikke udgør et strengt bevis.
På flydende kroppe (i to bøger) overlever kun delvis på græsk, resten i middelalderlig latinsk oversættelse fra græsk . Det er det første kendte arbejde med hydrostatik, hvoraf Archimedes er anerkendt som grundlæggeren. Dens formål er at bestemme de positioner, som forskellige faste stoffer vil indtage, når de flyder i en væske i henhold til deres form og variationen i deres specifikke tyngdekraft. I den første bog er forskellige generelle principper etableret, især hvad der er blevet kendt som Archimedes princip: et fast tættere end en væske vil, når det nedsænkes i væsken, være lettere af vægten af den væske, det fortrænger. Den anden bog er en matematisk kraftturnering uden sidestykke i oldtiden og sjældent lig med siden. I den bestemmer Archimedes de forskellige stabilitetspositioner, som en højre paraboloid af revolution antager, når den flyder i en væske med større specifik tyngdekraft i henhold til geometriske og hydrostatiske variationer.
Archimedes er kendt fra referencer fra senere forfattere, at have skrevet et antal andre værker, der ikke har overlevet. Af særlig interesse er traktater om katoptik, hvor han blandt andet diskuterede fænomenet brydning; på de 13 semiregulære (arkimediske) polyedre (de kroppe, der er afgrænset af regelmæssige polygoner, ikke nødvendigvis alle af samme type, der kan indskrives i en sfære); og “Cattle Problem” (bevaret i et græsk epigram), der udgør et problem i ubestemt analyse med otte ukendte. Ud over dem overlever der flere værker i arabisk oversættelse tilskrevet Archimedes, der ikke kan være komponeret af ham i deres nuværende form, skønt de kan indeholde “arkimediske” elementer. Disse inkluderer et arbejde med at indskrive den almindelige heptagon i en cirkel; en samling lemmaer (antagelser, der antages at være sande, der bruges til at bevise en sætning) og en bog, On Touching Circles, der begge har at gøre med elementærplangeometri; og maven (hvoraf dele også overlever på græsk), der beskæftiger sig med en firkant opdelt i 14 brikker til et spil eller et puslespil.
Archimedes matematiske bevis og præsentation udviser stor dristighed og originalitet i tankerne på den ene hånd og ekstrem strenghed på den anden side, der opfylder de højeste standarder for moderne geometri. Mens metoden viser, at han nåede frem til formlerne for en kugles overfladeareal og volumen ved hjælp af “mekanisk” ræsonnement, der involverer uendelige størrelser, bruger han kun sine strenge metoder til successiv endelig tilnærmelse i sine faktiske beviser for resultaterne i sfære og cylinder. blev opfundet af Eudoxus fra Cnidus i det 4. århundrede fvt. Disse metoder, som Archimedes var en mester om, er standardproceduren i alle hans værker om højere geometri, der beskæftiger sig med at bevise resultater om områder og volumener. Deres matematiske strenghed står i stærk kontrast til “bevisene” fra de første udøvere af integreret beregning i det 17. århundrede, da uendelige dyr blev genindført i matematik. Alligevel er Archimedes resultater ikke mindre imponerende end deres. Den samme frihed fra traditionelle tænkemåder er tydelig i det aritmetiske felt i Sand-Reckoner, som viser en dyb forståelse af det numeriske systems karakter.
I antikken var Archimedes også kendt som en fremragende astronom: hans observationer af solhverv blev brugt af Hipparchus (blomstrede ca. 140 fvt), den førende antikke astronom. Man kender meget lidt til denne side af Archimedes aktivitet, selvom Sand-Reckoner afslører hans skarpe astronomiske interesse og praktiske observationsevne. Der er dog blevet afleveret et sæt tal, der tilskrives ham, og som giver afstanden til de forskellige himmellegemer fra Jorden, hvilket ikke har vist sig at være baseret på observerede astronomiske data, men på en “Pythagoras” teori, der forbinder de rumlige intervaller mellem planeterne med musikalske intervaller. Overraskende, selv om det er at finde disse metafysiske spekulationer i en praktiserende astronoms arbejde, er der god grund til at tro, at deres tilskrivning til Archimedes er korrekt.