Složený úrok

Periodické slučování Upravit

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P „= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

kde:

P je původní součet jistiny P“ je nová jistina součet r je nominální roční úroková sazba n je složená frekvence t je celková doba, po kterou je úrok aplikován (vyjádřený pomocí stejných časových jednotek jako r, obvykle roky).

Celkový vygenerovaný složený úrok je konečná hodnota minus počáteční jistina:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Příklad 1 Upravit

P ′ = 1 500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P „= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0,043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ cca 1 \, 938,84}

Takže nový hlavní P ′ {\ displaystyle P „} po 6 let je přibližně 1 938,84 USD.

Odečtením původní jistiny od této částky získáte částku přijatého úroku:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438,84}

Příklad 2Upravit

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ Displaystyle P „= 1 \, 500 \ krát \ vlevo (1+ ( 0,043 \ krát 2) \ vpravo) ^ {\ frac {6} {2}} \ přibližně 1 \, 921,24}

Takže zůstatek po 6 letech je přibližně 1 921,24 USD.

Částka přijatý úrok lze vypočítat odečtením jistiny od této částky.

1 921.24 – 1 500 = 421.24 {\ displaystyle 1 \, 921.24-1 \, 500 = 421 .24}

Úrok je v porovnání s předchozím případem menší v důsledku nižší četnosti skládání.

Funkce akumulaceEdit

Protože hlavní P je jednoduše koeficient, často se pro jednoduchost vynechává a místo toho se používá výsledná akumulační funkce. Funkce akumulace ukazuje, k čemu $ 1 po jakékoli době doroste.

Funkce akumulace pro jednoduchý a složený úrok jsou

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ levý (1 + {\ frac {r} {n}} \ pravý) ^ {nt}}

Pokud nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, pak jsou tyto dvě funkce stejné.

Kontinuální skládáníEdit

Jako n , počet složených období za rok, se zvyšuje bez omezení, případ je známý jako kontinuální složení, kdy se efektivní roční míra blíží horní hranici er – 1, kde e je matematická konstanta, která je základem přirozené logaritmus.

Kontinuální skládání lze považovat za to, že se skládací období stává nekonečně malým, čehož se dosáhne tím, že se limita vezme jako n jde do nekonečna. Matematické prokázání tohoto limitu viz definice exponenciální funkce. Množství po t obdobích spojitého skládání lze vyjádřit jako počáteční množství P0 jako

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force of interestEdit

Jelikož počet složených období n {\ displaystyle n} dosahuje nekonečna v spojitém skládání, spojitá složená úroková sazba se označuje jako úroková síla δ {\ displaystyle \ delta}.

V matematice jsou akumulační funkce často vyjádřeny jako e, základ přirozeného logaritmu. To usnadňuje použití kalkulu k manipulaci s úrokovými vzorci.

U jakékoli kontinuálně diferencovatelné akumulační funkce a (t) je zájmová síla nebo obecněji logaritmický nebo spojitě složený výnos funkcí času definovaného jako následuje:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a „(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Toto je logaritmická derivace akumulační funkce.

Naopak:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (protože a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; lze to považovat za konkrétní případ integrálu produktu).

Když je výše uvedený vzorec napsán ve formátu diferenciální rovnice, pak je zájmová síla jednoduše koeficientem množství změny:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

pro složený úrok s konstantní roční úroková sazba r, úroková síla je constan t a akumulační funkce složeného úroku z hlediska úrokové síly je jednoduchá síla e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } nebo a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Síla úroku je menší než roční efektivní úroková sazba, ale více než roční efektivní sleva hodnotit. Je to převrácená doba e-skládání. Viz také notace úrokových sazeb.

Složená bázeEdit

Chcete-li převést úrokovou sazbu z jedné složené báze na jinou složenou bázi, použijte

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

whereer1 je úroková sazba se složenou frekvencí n1, ar2 je úroková sazba se složenou frekvencí n2.

Když je úrok neustále složený, použijte

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

kde δ {\ displaystyle \ delta} je úroková sazba na kontinuálním úročení a andr je uvedená úroková sazba s četností úročení n.

Měsíčně amortizovaná půjčka nebo hypotéka paymentsEdit

Úroky z půjček a hypoték, které se amortizují – tj. mají hladkou měsíční splátku, dokud není půjčka splacena – jsou často složeny měsíčně. Vzorec pro platby lze zjistit z následujícího argumentu.

Přesný vzorec pro měsíční platbuUpravit

Přesný vzorec pro měsíční platbu (c {\ displaystyle c}) je

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

nebo ekvivalentně

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

kde:

c {\ displaystyle c} = měsíční splátka P {\ displaystyle P} = jistina r {\ displaystyle r} = měsíční úroková sazba n {\ displaystyle n} = počet platebních období

To lze odvodit na základě toho, kolik zbývá splácet po každém měsíci.
Hlavní osoba zbývající po prvním měsíci je

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

tj. počáteční částka plus úrok snížený o platbu.
Pokud je celá půjčka splacena po jednom měsíci, pak

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, takže P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Po druhém měsíci zbývá P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c}, takže

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ Displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Pokud byla celá půjčka splacena po dvou měsících,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, takže P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

které lze přeskupit a dát

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Vzorec tabulky

V tabulkách je PMT ( ) je použita funkce. Syntaxe je:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Další informace viz Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Tabulky Google.

Například pro úroková sazba 6% (0,06 / 12), 25 let * 12 pa, PV 150 000 USD, FV 0, typ 0 dává:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = 966,45 $

Přibližný vzorec pro měsíční platbu Upravit

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ cca {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}}

což naznačuje definování pomocných proměnných

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Zde je měsíční splátka požadovaná u půjčky s nulovým úrokem splácená ve splátkách. n {\ displaystyle n} Z hlediska těchto proměnných lze přiblížit přiblížení.

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ cca c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funkce f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} je sudé:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

což znamená, že jej lze rozšířit v sudých silách Y {\ displaystyle Y}.

Potom se bude hodit definovat

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

tak, že

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ cca c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

který lze rozšířit:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ cca c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

kde elipsy označují výrazy vyššího řádu v sudých mocninách X {\ displaystyle X}. Expanze

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ cca P_ {0} \ vlevo (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ vpravo)}

je platný na více než 1% za předpokladu X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Příklad splácení hypotéky Upravit

U hypotéky 10 000 $ s období 30 let a sazba bankovek 4,5%, splatná ročně, zjistíme:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

což dává

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

tak, že

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = 333,33 $ (1 + 0,675 + 0,675 2/3) = 608,96 $ {\ Displaystyle P \ cca P_ {0} \ vlevo (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 +. 675 +. 675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investice: měsíční vkladyUpravit

Vzhledem k jistinovému (počátečnímu) vkladu a opakovanému vkladu lze celkovou návratnost investice vypočítat pomocí složeného úroku získaného za jednotku času. V případě potřeby lze úrok ve výši dalších neopakujících se a opakujících se vkladů definovat také ve stejném vzorci (viz níže).

P {\ displaystyle P} = Hlavní vklad r {\ displaystyle r} = Míra návratnosti ( měsíčně) M {\ displaystyle M} = Měsíční vklad a t {\ displaystyle t} = Čas v měsících M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Pokud se vyskytnou dva nebo více typů vkladů (opakujících se nebo neopakujících se), sloučenina vydělané úroky lze vyjádřit jako

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} kde C a k jsou neopakující se a opakující se vklady, a x a y jsou časové rozdíly mezi novým vkladem a libovolnou proměnnou t {\ displaystyle t} je modelování.