Klíčové pojmy
Matematika
Pravděpodobnost
Statistiky
Úvod
Máte už jste si někdy všimli, jak se někdy to, co se zdá logické, ukáže s malou matematikou jako nepravdivé? Například, kolik lidí si myslíte, že by průměrně bylo potřeba zjistit dva lidi, kteří mají stejné narozeniny? Kvůli pravděpodobnosti je někdy pravděpodobnější, že k události dojde, než tomu věříme. V tomto případě, pokud zkoumáte náhodnou skupinu jen 23 lidí, existuje ve skutečnosti asi 50–50 šance, že dva z nich budou mít stejné narozeniny. Tomu se říká paradox narozenin. Nevěříte tomu, že je to pravda? Můžete to otestovat a zjistit matematickou pravděpodobnost v akci!
Pozadí
Narozeninový paradox, známý také jako problém s narozeninami, uvádí, že v náhodné skupině 23 lidí existuje asi 50% šance že dva lidé mají stejné narozeniny. Je to opravdu pravda? Existuje několik důvodů, proč se to zdá jako paradox. Jedním z nich je, že když v místnosti s 22 dalšími lidmi porovná osoba své narozeniny s narozeninami ostatních lidí, bude to jen 22 srovnání – pouze 22 šancí, aby lidé měli stejné narozeniny.
Když ale porovnáme všech 23 narozenin, bude to mnohem více než 22 srovnání. O kolik víc? První osoba má k dispozici 22 srovnání, ale druhá osoba byla již srovnávána s první osobou, takže je třeba provést pouze 21 srovnání. Třetí osoba má poté 20 srovnání, čtvrtá osoba má 19 atd. Pokud sečtete všechna možná srovnání (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), je součet 253 srovnání nebo kombinací. V důsledku toho každá skupina 23 lidí zahrnuje 253 srovnání nebo 253 šancí na shodu narozenin.
Materiály
• Skupiny 23 a více lidí (10 až 12 takových skupin) nebo zdroj s náhodnými narozeninami (viz Příprava níže pro tipy)
• Papír a tužka nebo tužka
• Kalkulačka (volitelná)
Příprava
• Sbírejte narozeniny pro náhodné skupiny 23 a více lidí. V ideálním případě byste měli dostat 10 až 12 skupin po 23 nebo více lidech, abyste měli k porovnání dostatek různých skupin. (Pro narozeniny nepotřebujete rok, stačí měsíc a den.)
• Tip: Zde je několik způsobů, jak najít několik náhodně seskupených lidí: Požádejte učitele školy, aby kolem každého předali seznam jejich tříd sbírat narozeniny pro studenty ve třídě (většina škol má ve třídě přibližně 25 studentů); používat narozeniny hráčů v baseballových týmech z hlavní ligy (tyto informace lze snadno najít na internetu); nebo použít narozeniny dalších náhodných lidí, kteří používají zdroje online.
Postup
• U každé skupiny 23 a více narozenin, které jste shromáždili, seřaďte je a zjistěte, zda v každé skupině existují nějaké narozeninové zápasy.
• Kolik z vaše skupiny mají dva nebo více lidí se stejnými narozeninami? Na základě paradoxu narozenin, kolik skupin byste očekávali, že zjistíte, že mají dva lidi se stejnými narozeninami? Platí narozeninový paradox?
• Extra: V tomto aktivitu jste použili skupinu 23 nebo více lidí, ale můžete to zkusit s většími skupinami použijte skupinu 366 lidí – největší počet dní v roce může mít – pravděpodobnost, že dva lidé mají stejné narozeniny, je 100 procent (s výjimkou narozenin v přestupném roce 29. února), ale co si myslíte, že jsou šance ve skupině 60 nebo 75 lidí?
• Extra: Házení kostkami je skvělý způsob, jak zjistit pravděpodobnost. Můžete zkusit hodit třemi 10strannými kostkami a pěti šestistrannými kostkami po 100krát a zaznamenat výsledky každého hodu. Vypočítejte matematickou pravděpodobnost získání součtu vyššího než 18 za každou kombinaci kostek, když je hodíte 100krát. (Tento web vás naučí, jak vypočítat pravděpodobnost: Pravděpodobnostní středisko od Oracle ThinkQuest.) Která kombinace má vyšší matematickou pravděpodobnost a byla to pravda, když jste je hodili?
Pozorování a výsledky
Udělalo asi 50 procent skupiny 23 a více lidí zahrnují alespoň dva lidi se stejnými narozeninami?
Při srovnání pravděpodobností s narozeninami může být snazší podívat se na pravděpodobnost, že lidé nesdílejí narozeniny. Narozeniny osoby jsou jednou z 365 možností (s výjimkou narozenin 29. února). Pravděpodobnost, že osoba nemá stejné narozeniny jako jiná osoba, je 364 děleno 365, protože existuje 364 dní, které nejsou narozeninami osoby . To znamená, že jakékoli dva lidé mají šanci 364/365 neboli 99,726027 procent, že nebudou odpovídat narozeninám.
Jak již bylo zmíněno dříve, ve skupině 23 lidí existuje 253 srovnání nebo kombinací, které mohou být vyroben. Takže se nedíváme jen na jedno srovnání, ale na 253 srovnání. Každá z 253 kombinací má stejnou šanci, 99,726027 procent, že nebude shoda. Pokud vynásobíte 99,726027 procent 99.726027 253krát, nebo spočítejte (364/365) 253, najdete zde 49,952 procentní šanci, že všech 253 srovnání neobsahuje žádné shody. V důsledku toho je pravděpodobnost, že v těchto 253 srovnání existuje narozeninový zápas, 1 – 49,952 procenta = 50,048 procenta, nebo jen něco málo přes polovinu! Čím více pokusů spustíte, tím blíže by se skutečná pravděpodobnost měla přiblížit 50 procentům.
Více k prozkoumání
„Porozumění paradoxu narozenin“ od BetterExplained
„Pravděpodobnost Central“ od Oracle ThinkQuest
„Kombinace a obměny“ od MathIsFun
„The Birthday Paradox“ od Science Buddies
Tato aktivita vám přináší partnerství s Science Buddies