Životopis
Srinivasa Ramanujan byl jedním z největších indických matematických géniů. Významně přispěl k analytické teorii čísel a pracoval na eliptických funkcích , pokračující zlomky a nekonečné řady.
Ramanujan se narodil v domě své babičky v Erode, malé vesnici asi 400 km jihozápadně od Madrasu (nyní Chennai). Když bylo Ramanujanovi rok, jeho matka ho vzala do města Kumbakonam, asi 160 km od Madrasu. Jeho otec pracoval v Kumbakonamu jako úředník v obchodě s oděvy. V prosinci 1889 dostal neštovice.
Když mu bylo téměř pět let, nastoupil Ramanujan do základní školy v Kumbakonamu, i když předtím navštěvoval několik různých základních škol. na městské střední škole v Kumbakonamu v lednu 1898. Na městské střední škole si Ramanujan vedl dobře ve všech svých školních předmětech a ukázal se jako schopný všestranný vědec. V roce 1900 začal samostatně pracovat na matematice se sčítáním geometrických a aritmetická řada.
Ramanujanovi bylo ukázáno, jak řešit kubické rovnice v roce 1902, a pokračoval v hledání vlastní metody řešení kvartiky. Následující rok, když nevěděl, že kvintiku nelze radikály vyřešit, pokusil se (a pochopitelně se nepodařilo vyřešit quintic.
Právě na městské střední škole narazil Ramanujan na matematickou knihu GS Carra nazvanou Synopse elementárních výsledků v čisté matematice. Tato kniha svým velmi stručným stylem umožnila Ra Manujan, aby se učil matematiku, ale styl knihy měl mít docela neblahý dopad na způsob, jakým později Ramanujan zapisoval matematiku, protože poskytoval jediný model písemných matematických argumentů, který měl. Kniha obsahovala věty, vzorce a krátké důkazy. Obsahoval také rejstřík článků o čisté matematice, které byly publikovány v Evropských časopisech učených společností během první poloviny 19. století. Kniha, publikovaná v roce 1886, byla v době, kdy ji Ramanujan používal, samozřejmě zcela zastaralá.
V roce 1904 začal Ramanujan provádět důkladný výzkum. Zkoumal řadu ∑ (1n) \ sum (\ large \ frac {1} {n} \ normalsize) ∑ (n1) a vypočítal Eulerovu konstantu na 15 desetinných míst. Začal studovat Bernoulliho čísla, i když to byl zcela jeho vlastním nezávislým objevem.
Ramanujan získal díky své dobré školní práci stipendium na vládní vysoké škole v Kumbakonamu, do které nastoupil v roce 1904. Následující rok však jeho stipendium nebylo obnoveno, protože Ramanujan věnoval více a více času stráveného matematikou a zanedbával své další předměty. Bez peněz se brzy dostal do potíží a bez toho, aby to řekl svým rodičům, utekl do města Vizagapatnam asi 650 km severně od Madrasu. V matematické práci však pokračoval, a v této době pracoval na hypergeometrických řadách a zkoumal vztahy mezi integrály a řadami. Později měl zjistit, že studoval eliptické funkce.
V roce 1906 Ramanujan odešel do Madrasu, kde nastoupil na Pachaiyappovu školu. Jeho cílem bylo složit zkoušku First Arts, která by mu umožnila být přijat na univerzitu v Madrasu. Navštěvoval přednášky na Pachaiyappově vysoké škole, ale po třech měsících studia onemocněl. Po absolvování kurzu složil zkoušku prvního umění. Absolvoval matematiku, ale neuspěl ve všech ostatních předmětech, a proto na zkoušce neprošel. To znamenalo, že nemohl vstoupit na univerzitu v Madrasu. V následujících letech pracoval na matematice a rozvíjel své vlastní myšlenky bez jakékoli pomoci a bez skutečné představy o tehdejších aktuálních výzkumných tématech, která nejsou uvedena v Carrově knize.
Pokračování své matematické práce Ramanujan studoval pokračující zlomky a odlišné řady v roce 1908. V této fázi znovu vážně onemocněl a v dubnu 1909 podstoupil operaci, po které mu trvalo značnou dobu na zotavení. Oženil se 14. července 1909, když mu jeho matka zařídila, aby se oženil s desetiletou dívkou S Janaki Ammal. Ramanujan však se svou ženou nežil, dokud jí nebylo dvanáct.
Ramanujan pokračoval v rozvíjení svých matematických myšlenek a začal klást problémy a řešit problémy v časopise Journal of the Indian Mathematical Society. V roce 1910 rozvinul vztahy mezi eliptickými modulárními rovnicemi. Po zveřejnění brilantního výzkumného článku o Bernoulliho počtech v roce 1911 v časopise Journal of the Indian Mathematical Society získal uznání za svou práci. Přes nedostatek univerzitního vzdělání se stal v oblasti Madrasu známým jako matematický génius.
V roce 1911 se Ramanujan obrátil na zakladatele Indické matematické společnosti o radu ohledně zaměstnání. Poté byl jmenován do svého prvního zaměstnání, dočasného pracovního místa v kanceláři generálního účetního v Madrasu. Poté bylo navrženo, aby se obrátil na Ramachandru Raa, který byl sběratelem v Nellore.Ramachandra Rao byl zakládajícím členem Indické matematické společnosti, který pomohl založit knihovnu matematiky. Píše: –
Krátká neomalená postava, statná, neoholený, ne příliš čistý, s jedním nápadným rysem zářící oči – vešla s roztřepeným notebookem pod paží. Byl nešťastně chudý. … Otevřel knihu a začal vysvětlovat některé ze svých objevů. Okamžitě jsem viděl, že je něco v cestě; ale moje znalosti mi nedovolily posoudit, zda mluví rozumně nebo nesmyslně. … zeptal jsem se ho, co chce. Řekl, že chce žít dál, aby mohl pokračovat ve svých výzkumech.
Ramachandra Rao mu řekl, aby se vrátil do Madrasu, a neúspěšně se pokusil sjednat stipendium pro Ramanujan. V roce 1912 Ramanujan požádal o místo úředníka v účetní sekci v Madras Port Trust. V dopise o žádosti napsal: –
Složil jsem maturitní zkoušku a studoval jsem až do prvního umění, ale kvůli několika nepříjemným okolnostem mi nemohlo pokračovat ve studiu. Celý čas jsem se však věnoval matematice a rozvíjení tohoto předmětu.
Navzdory skutečnosti, že neměl vysokoškolské vzdělání, byl Ramanujan univerzitním matematikům v Madrasu jasně znám. protože Ramanujan do svého přihlašovacího dopisu zahrnul odkaz EW Middlemasta, který byl profesorem matematiky na The Presidency College v Madrasu. Middlemast, absolvent St Johns College v Cambridge, napsal: –
Žadatele mohu vřele doporučit. Je to mladý muž se zcela výjimečnými schopnostmi v matematice a zejména v práci vztahující se k číslům. Má přirozenou schopnost počítat a je velmi rychlý v práci s čísly.
Na základě doporučení byl Ramanujan jmenován do funkce úředníka a své povinnosti zahájil dne 1. března 1912. Ramanujan měl velké štěstí, že kolem něj pracovalo několik lidí se školením z matematiky. Ve skutečnosti byl hlavní účetní pro důvěru v přístavu Madras, SN Aiyar, vyškolen jako matematik a publikoval článek O distribuci připravuje v roce 1913 na práci Ramanujana. Profesor stavebního inženýrství na Madras Engineering College CLT Griffith se také zajímal o schopnosti Ramanujana a poté, co byl vzděláván na University College London, znal tamního profesora matematiky, jmenovitě MJM Hill. Napsal Hillovi dne 12. listopadu 1912 část práce Ramanujana a kopie jeho článku z roku 1911 o číslech Bernoulliho.
Hill odpověděl docela povzbudivě, ale ukázal, že nepochopil výsledky Ramanujana v odlišných sériích. Doporučení Ramanujanovi, aby si přečetl Bromwichova teorie nekonečných sérií Ramanujana moc nepotěšila. Ramanujan napsal E W. Hobsonovi a H F Bakerovi, který se je snažil zaujmout svými výsledky, ale ani jeden neodpověděl. V lednu 1913 napsal Ramanujan GH Hardymu, který viděl kopii své knihy Objednávky nekonečna z roku 1910. V dopise Ramanujana Hardymu představil sebe a svou práci: –
Neměl jsem vysokoškolské vzdělání, ale absolvoval jsem běžný školní kurz. Po ukončení školy jsem zaměstnával volný čas, který mám k dispozici na práci na matematice. Nešel jsem běžným pravidelným kurzem, který je sledován na univerzitním kurzu, ale pro sebe si razím novou cestu. Provedl jsem speciální průzkum divergentních sérií obecně a výsledky, které dostávám, jsou místními matematiky označovány jako „překvapivé“.
Hardy spolu s Littlewoodem prostudovali dlouhý seznam nepotvrzených vět, které Ramanujan přiložil ke svému dopisu. 8. února odpověděl na Ramanujan, začátek dopisu: –
Váš dopis a věty, které uvádíte, mě nesmírně zaujaly. Budete však rozumět tomu, že než budu moci správně posoudit hodnoty toho, co jste udělali, je zásadní Měl bych vidět důkazy o některých tvých tvrzeních. Zdá se mi, že vaše výsledky spadají do zhruba tří tříd:
(1) existuje řada výsledků, které jsou již známé nebo snadno odvoditelné ze známých vět;
(2) existují výsledky, které, pokud Vím, jsou nové a zajímavé, ale zajímavé spíše svou zvědavostí a zjevnou obtížností než jejich důležitostí;
(3) existují výsledky, které se zdají být nové a důležité …
Ramanujan byl Hardyho odpovědí potěšen, a když psal znovu, řekl: –
našel jsem ve vás přítele, který na mé práce pohlíží soucitně. … už jsem napůl hladovějící muž. Abych si zachoval mozek, chci jídlo a to je moje první úvaha. Jakýkoli soucitný dopis od vás mi zde pomůže získat stipendium od univerzity od vlády.
Ve skutečnosti univerzita v Madrasu udělila Ramanujanu stipendium v květnu 1913 na dva roky a v roce 1914 Hardy přivedl Ramanujana na Trinity College v Cambridge, aby zahájil mimořádnou spolupráci. Nastavení to nebylo snadná záležitost. Ramanujan byl ortodoxní Brahmin, stejně jako přísný vegetarián. Jeho náboženství mu mělo zabránit v cestování, ale tento problém byl překonán, částečně prací EH Nevilla, který byl Hardyho kolegou na Trinity College a který se setkal s Ramanujanem při přednáškách v Indii.
Ramanujan vyplul z Indie na 17. března 1914. Byla to klidná cesta, kromě tří dnů, kdy byla Ramanujan mořská nemoc. Do Londýna přijel 14. dubna 1914 a setkal se s ním Neville. Po čtyřech dnech v Londýně odjeli do Cambridge a Ramanujan strávil několik týdnů v Nevillův domov, než se 30. dubna přestěhoval do pokojů na Trinity College. Hned od začátku však měl problémy se stravou. Vypuknutí první světové války ztížilo získávání speciálních potravin a nebylo to dlouho předtím, než měl Ramanujan zdravotní problémy.
Spolupráce Ramanujanu s Hardym vedla k důležitým výsledkům. Hardy si však nebyl jistý, jak přistupovat k problému Ramanujanova nedostatku formálního vzdělání. Napsal: –
Co se mělo dělat, když jsem ho učil moderní matematiku? Omezení jeho znalostí byla stejně překvapivá jako jeho hloubka.
Littlewood byl požádán, aby pomohl naučit Ramanujan přísné matematické metody. Nicméně řekl (): –
… že to bylo nesmírně obtížné, protože pokaždé, když byla zmíněna nějaká záležitost, o které se domnívalo, že Ramanujan potřebuje vědět, byla její odpověď byla lavina originálních nápadů, díky nimž bylo Littlewoodovi téměř nemožné vytrvat ve svém původním záměru.
Válka brzy vzala Littlewooda z válečné služby, ale Hardy zůstal v Cambridge, aby pracoval s Ramanujanem . Už při své první zimě v Anglii byl Ramanujan nemocný a v březnu 1915 napsal, že byl nemocný kvůli zimnímu počasí a po dobu pěti měsíců nebyl schopen nic publikovat. To, co publikoval, byla práce, v níž pracoval V Anglii bylo rozhodnuto, že výsledky, které získal v Indii, z nichž mnohé sdělil Hardymu ve svých dopisech, budou zveřejněny až po skončení války.
16. března 1916 Ramanujan absolvoval Cambridge s Bachelor of Arts podle výzkumu (titul byl nazýván Ph.D. f 1920). Bylo mu umožněno se přihlásit v červnu 1914, přestože neměl patřičnou kvalifikaci. Ramanujanova disertační práce byla na téma Vysoce složený počet a skládala se ze sedmi jeho prací publikovaných v Anglii.
Ramanujan vážně onemocněl v roce 1917 a jeho lékaři se obávali, že zemře. Do září se trochu zlepšil, ale většinu svého času strávil V únoru 1918 Hardy napsal (viz): –
Batty Shaw zjistil, co ostatní lékaři nevěděli, že před asi čtyřmi lety podstoupil operaci . Jeho nejhorší teorie byla, že to skutečně bylo pro odstranění zhoubného bujení, nesprávně diagnostikovaného. Vzhledem k tomu, že Ramanujan není o nic horší než před šesti měsíci, nyní tuto teorii opustil – ostatní lékaři ji nikdy nedali Tubercle je prozatímně přijímanou teorií, kromě toho, protože se vzdali původní myšlenky na žaludeční vředy … Stejně jako všichni Indové je fatalistický a je strašně těžké přimět ho, aby se o sebe postaral.
Dne 18. února 1918 byl Ramanujan zvolen členem Cambridge Philosophical Society a poté o tři dny později, jeho největší čest, které se mu dostává, se jeho jméno objevilo na seznamu pro zvolení za člena Royal Society of London. Navrhl ho působivý seznam matematiků, jmenovitě Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth a Whitehead. Jeho zvolení za člena Královské společnosti bylo potvrzeno 2. května 1918, poté 10. října 1918 byl zvolen členem Fakulty Trinity College v Cambridge, která se bude ucházet o šest let.
Vyznamenání udělená Ramanujanu se zdála aby se trochu zlepšilo jeho zdraví, obnovil své úsilí v produkci matematiky. Do konce listopadu 1918 se zdraví Ramanujana výrazně zlepšilo. Hardy napsal v dopise: –
Myslím, že nyní můžeme doufat, že se obrátil do kouta a je na cesta ke skutečnému uzdravení. Jeho teplota přestala být nepravidelná a přibral téměř na váze. … V jeho mimořádných matematických talentech nikdy nebyl náznak jakéhokoli oslabení. Produkoval přirozeně méně během jeho nemoc, ale kvalita byla stejná ….
Vrátí se do Indie s vědeckým postavením a pověstí, jakou si žádný Ind dosud neužil, a jsem přesvědčen, že Indie ho bude považovat za poklad, kterým je. Jeho přirozená jednoduchost a skromnost nebyla nikdy ani v nejmenším ovlivněna úspěchem – vše, co se chce, je přimět ho, aby si uvědomil, že skutečně je úspěch.
Ramanujan odplul do Indie dne 27. února 1919 s příjezdem 13. března. Jeho zdraví však bylo velmi špatné a navzdory lékařskému ošetření tam v následujícím roce zemřel.
Dopisy, které Ramanujan napsal Hardymu v roce 1913, obsahovaly mnoho fascinujících výsledků. Ramanujan vypracoval Riemannovu řadu, eliptické integrály, hypergeometrické řady a funkční rovnice funkce zeta. Na druhou stranu měl jen nejasnou představu o tom, co představuje matematický důkaz. Přes mnoho skvělých výsledků byly některé jeho věty o prvočíslech zcela chybné.
Ramanujan nezávisle objevil výsledky Gaussa, Kummera a dalších na hypergeometrických řadách. Ramanujanova vlastní práce na částečných součtech a produktech hypergeometrických řad vedla k významnému rozvoji tohoto tématu. Snad jeho nejslavnější práce byla o počtu p (n) oddílů celého čísla nnn do summandů. MacMahon vytvořil tabulky hodnota p (n) p (n) p (n) pro malá čísla nnn a Ramanujan použil tato numerická data k domněnce některých pozoruhodných vlastností, z nichž některé dokázal pomocí eliptických funkcí. Jiné byly prokázány až po Ramanujanově smrti.
Ve společném článku s Hardym dal Ramanujan asymptotický vzorec pro p (n) p (n) p (n). Měl pozoruhodnou vlastnost, že se zdálo, že dává správnou hodnotu p (n) p (n) p (n), a to později dokázal Rademacher.
Ramanujan zanechal řadu nepublikovaných poznámkových bloků naplněných větami, které matematici pokračovali ve studiu. GN Watson, zednářský profesor čisté matematiky v Birminghamu v letech 1918 až 1951 publikoval 14 článků pod obecným názvem Věty, které uvedl Ramanujan, a ve všech publikoval téměř 30 článků, které byly inspirovány Ramanujanovou prací. Hardy předal Watsonovi velké množství rukopisů Ramanujanu, které měl, oba napsané před rokem 1914 a některé napsané v Ramanujanově posledním roce v Indii před jeho smrtí.
Obrázek výše je převzat z razítka vydaného indickou poštou k oslavě 75. výročí jeho narození.