Exponenciální distribuce je jednou z široce používaných spojitých distribucí. Často se používá k modelování času uplynulého mezi událostmi. Nyní matematicky definujeme exponenciální rozdělení a odvodíme jeho střední a očekávanou hodnotu. Poté vyvineme intuici pro distribuci a probereme několik zajímavých vlastností, které má.

Obrázek 4.5 ukazuje PDF exponenciální distribuce pro několik hodnot $ \ lambda $.

Nechť $ X \ sim exponenciální (\ lambda) $. Můžeme najít jeho očekávanou hodnotu takto pomocí integrace po částech:

Nyní najdeme Var $ (X) $. Máme

Tedy získáme $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Zajímavou vlastností exponenciálního rozdělení je, že jej lze považovat za spojitý analog geometrického rozložení. Chcete-li to vidět, připomeňte si náhodný experiment za geometrickým rozložením: hodíte minci (opakujete Bernoulliho experiment), dokud nebudete pozorovat první hlavy (úspěch). Nyní předpokládejme, že hody mincí jsou $ \ Delta $ sekund od sebe a v každém losování je pravděpodobnost úspěchu $ p = \ Delta \ lambda $. Předpokládejme také, že $ \ Delta $ je velmi malý, takže losování mincí je časově velmi blízko u sebe a pravděpodobnost úspěchu v každé zkoušce je velmi nízká. Nechte $ X $ být čas, kdy budete pozorovat jedle st úspěch. V části Vyřešené problémy ukážeme, že distribuce $ X $ konverguje k $ Exponential (\ lambda) $, protože $ \ Delta $ se blíží nule.

Chcete-li získat nějakou intuici pro tuto interpretaci exponenciálního rozdělení Předpokládejme, že čekáte na událost. Například jste v obchodě a čekáte na dalšího zákazníka. V každé milisekundě je pravděpodobnost, že do obchodu vstoupí nový zákazník, velmi malá. Dokážete si představit, že v každé milisekundě je hodena mince (s velmi malými $ P (H) $), a pokud přistane, vstoupí noví zákazníci. Pokud hodíte minci každou milisekundu, doba do příchodu nového zákazníka přibližně následuje exponenciální rozdělení.

Výše uvedený výklad exponenciálu je užitečný pro lepší pochopení vlastností exponenciálního rozdělení. Nejdůležitější z těchto vlastností je, že exponenciální rozdělení je bez paměti. Chcete-li to vidět, pomyslete na exponenciální náhodnou proměnnou ve smyslu házení mnoha mincí, dokud nebudete pozorovat první hlavy. Pokud minci hodíme několikrát a nebudeme pozorovat hlavy, od této chvíle je to, jako bychom začali znovu. Jinými slovy, neúspěšné losování mincí nemá od nynějška vliv na rozložení čekací doby. Důvodem je to, že losování je nezávislé. Můžeme to formálně uvést následovně: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Z hlediska čekací doby do příjezdu zákazníka znamená vlastnost bez paměti, že nezáleží na tom, jak dlouho jste čekali zatím. Pokud jste zákazníka nezaznamenali do času $ a $, je rozložení čekací doby (od času $ a $) do dalšího zákazníka stejné, jako když jste začínali v čase nula. Prokážme vlastnost paměti exponenciálního rozdělení bez paměti. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}