Archimedes (Čeština)

Jeho díla

Archimedes má v řečtině devět dochovaných pojednání. Hlavní výsledky v knize Na kouli a válci (ve dvou knihách) spočívají v tom, že plocha jakékoli koule o poloměru r je čtyřikrát větší než plocha její největší kružnice (v moderní notaci S = 4πr2) a že objem koule je dvě třetiny válce, ve kterém je zapsán (což okamžitě vede k vzorci pro objem, V = 4 / 3πr3). Archimedes byl na tento objev natolik hrdý, že nechal pokyny pro jeho hrob označit koulí vepsanou do válce. Marcus Tullius Cicero (106–43 př. N. L.) Našel hrobku zarostlou vegetací sto a půl po Archimédově smrti.

Měření kruhu je fragmentem delší práce, ve které π (pi), poměr obvodu k průměru kruhu, je zobrazen tak, že leží mezi limity 3 10/71 a 3 1/7. Archimédův přístup k určování π, který spočívá ve vepsání a vymezení pravidelných polygonů s velkým počtem stran, sledoval každý až do vývoje nekonečných sérií v Indii během 15. století a v Evropě během 17. století. Tato práce také obsahuje přesné aproximace (vyjádřené jako poměry celých čísel) k odmocninám 3 a několika velkým číslům.

Na téma Conoids and Spheroids se zabývá určováním objemů segmentů pevných látek vytvořených revolucí kuželovitý řez (kruh, elipsa, parabola nebo hyperbola) kolem své osy. Z moderního hlediska se jedná o problémy integrace. (Viz kalkul.) U Spirál vyvíjí mnoho vlastností tečen a spirál Archimédovy spirály – tj. Místo bodu pohybujícího se rovnoměrnou rychlostí podél přímky, která sama rotuje rovnoměrnou rychlostí kolem pevného bodu . Byla to jedna z mála křivek za přímkou a kuželovitými úseky známými ve starověku.

O rovnováze rovin (nebo Centers of Gravity of Planes; ve dvou knihách) se zabývá hlavně vytvořením těžiště různých přímočarých rovinných útvarů a segmentů paraboly a paraboloidu. První kniha má za cíl zavést „zákon páky“ (velikosti se vyvažují ve vzdálenostech od středu otáčení v inverzním poměru k jejich vahám) a hlavně na základě tohoto pojednání byl Archimedes nazýván zakladatelem teoretické mechaniky. Velká část této knihy však bezpochyby není autentická, protože spočívá v neschopných pozdějších doplněních nebo přepracováních, a je pravděpodobné, že byl vytvořen základní princip zákona páky a – možná – koncept těžiště na matematickém základě učenci dříve než Archimédovi. Jeho příspěvkem bylo spíše rozšířit tyto koncepty na kuželovité úseky.

Kvadratura Paraboly demonstruje, nejprve „mechanickými“ prostředky (jako v metodě popsané níže) a potom konvenčními geometrickými metodami, že plocha kteréhokoli segmentu paraboly je 4/3 plochy trojúhelníku se stejnou základnou a výškou jako tento segment. To je opět problém v integraci.

Sand-Reckoner je malé pojednání, které je jeu desprit psané pro laiky – je adresováno Gelonovi, Hieronovu synovi – které přesto obsahuje nějakou hluboce originální matematiku. Jejím cílem je napravit nedostatky řeckého numerického notačního systému ukázáním toho, jak vyjádřit obrovské množství – počet zrn písku, které by bylo zapotřebí k zaplnění celého vesmíru. To, co Archimedes ve skutečnosti dělá, je vytvoření notového systému typu místo-hodnota se základnou 100 000 000. (To byl zjevně zcela originální nápad, protože neměl znalosti o současném babylonském systému místo-hodnota se základnou 60.) Práce je také zajímavá, protože poskytuje nejpodrobnější dochovaný popis heliocentrického systému Aristarcha Samosského ( c. 310–230 př. n. l.) a protože obsahuje popis důmyslného postupu, který Archimedes použil k určení zdánlivého průměru Slunce pozorováním pomocí přístroje.

Metoda týkající se mechanických vět popisuje proces objevování v matematice . Je to jediné dochované dílo ze starověku a jedno z mála z jakéhokoli období, které se věnuje tomuto tématu.V něm Archimedes líčí, jak pomocí „mechanické“ metody dospěl k některým svým klíčovým objevům, včetně oblasti parabolického segmentu a plochy a objemu koule. Technika spočívá v rozdělení každé ze dvou postav na nekonečnou ale stejný počet nekonečně tenkých proužků, poté „zvážení“ každé odpovídající dvojice těchto proužků proti sobě na pomyslné rovnováze, aby se získal poměr dvou původních čísel. Archimedes zdůrazňuje, že i když je tento postup užitečný jako heuristická metoda, nepředstavuje přísný důkaz.

O plovoucích tělech (ve dvou knihách) přežije jen částečně v řečtině, zbytek ve středověkém latinském překladu z řečtiny . Jedná se o první známou práci na hydrostatice, jejíž zakladatelem je Archimedes. Jeho účelem je určit polohy, které různé pevné látky zaujmou, když se vznášejí v tekutině, podle jejich formy a variací jejich specifické hmotnosti. V první knize jsou stanoveny různé obecné principy, zejména to, co se stalo známým jako Archimédův princip: pevná látka hustší než tekutina bude po ponoření do této tekutiny lehčí o hmotnost tekutiny, kterou vytlačuje. Druhá kniha je matematická tour de force bezkonkurenční ve starověku a od té doby málokdy rovnocenná. V něm Archimedes určuje různé polohy stability, které předpokládá pravý paraboloid revoluce, když se vznáší v kapalině s vyšší měrnou hmotností, podle geometrických a hydrostatických variací.

Archimedes je známý z odkazů pozdějších autorů, napsat řadu dalších děl, která se nepřežila. Obzvláště zajímavá jsou pojednání o catoptrice, ve kterých se mimo jiné zabýval fenoménem lomu; na 13 semiregulárních (archimédských) mnohostěnech (tělesa ohraničená pravidelnými polygony, ne nutně se všemi stejného typu, která lze vepsat do koule); a „Dobytčí problém“ (zachovaný v řeckém epigramu), který představuje problém v neurčité analýze, s osmi neznámými. Kromě nich přežije několik děl v arabském překladu připsaných Archimédovi, která nemohla být složena jimi současné podobě, i když mohou obsahovat „archimédovské“ prvky. Mezi ně patří práce na zapsání pravidelného sedmiúhelníku do kruhu; sbírka lemmat (propozice se považují za pravdivé, které se používají k prokázání věty) a kniha Na dotýkajících se kruzích, která má co do činění s elementární geometrií roviny; a žaludek (jehož části také přežívají v řečtině), které se zabývají čtvercem rozděleným na 14 dílků pro hru nebo hádanku.

Archimédovy matematické důkazy a prezentace vykazují velkou smělost a originalitu myšlení na té jedné ruka a extrémní přísnost na straně druhé, splňující nejvyšší standardy současné geometrie. Zatímco metoda ukazuje, že k vzorcům pro povrchovou plochu a objem koule dospěl „mechanickým“ uvažováním zahrnujícím nekonečně malá čísla, ve svých skutečných důkazech výsledků ve sféře a válci používá pouze důsledné metody postupné konečné aproximace, které byl vynalezen Eudoxem z Cnidusu ve 4. století před naším letopočtem. Tyto metody, z nichž byl Archimedes mistrem, jsou standardním postupem ve všech jeho pracích o vyšší geometrii, které se zabývají prokazováním výsledků o oblastech a objemech. Jejich matematická přísnost stojí v silném kontrastu k „důkazům“ prvních praktiků integrálního počtu v 17. století, kdy byly infinitezimály znovu zavedeny do matematiky. Výsledky Archimedes přesto nejsou o nic méně působivé než ty jejich. Stejná svoboda od konvenčních způsobů myšlení je patrná v aritmetickém poli Sand-Reckonera, které ukazuje hluboké pochopení podstaty numerického systému.

Ve starověku byl Archimedes také známý jako vynikající astronom: jeho pozorování slunovratů využil Hipparchus (vzkvétal kolem 140 př. n. l.), přední antický astronom. O této stránce Archimédovy činnosti je známo jen velmi málo, ačkoli Sand-Reckoner odhaluje jeho velký astronomický zájem a praktické pozorovací schopnosti. Byla mu však předána sada čísel, která mu byla přičítána, což udává vzdálenosti různých nebeských těles od Země, která se ukázala být založena nikoli na pozorovaných astronomických datech, ale na „Pythagorově“ teorii spojující prostorové intervaly mezi planety s hudebními intervaly. Překvapivé je, že je najít tyto metafyzické spekulace v díle praktického astronoma, je však dobrý důvod domnívat se, že jejich přisuzování Archimédovi je správné.