Concetti chiave
Matematica
Probabilità
Statistiche
Introduzione
Hai Hai mai notato come a volte ciò che sembra logico si rivela falso con un po di matematica? Ad esempio, quante persone pensi che occorrerebbero per fare un sondaggio, in media, per trovare due persone che condividono lo stesso compleanno? A causa della probabilità, a volte è più probabile che si verifichi un evento di quanto crediamo. In questo caso, se esamini un gruppo casuale di sole 23 persone, in realtà cè una probabilità del 50-50 che due di loro abbiano lo stesso compleanno. Questo è noto come il paradosso del compleanno. Non credi che sia vero? Puoi testarlo e vedere la probabilità matematica in azione!
Background
Il paradosso del compleanno, noto anche come problema del compleanno, afferma che in un gruppo casuale di 23 persone, cè una probabilità del 50% circa che due persone hanno lo stesso compleanno. È proprio vero? Ci sono molte ragioni per cui questo sembra un paradosso. Una è che quando si è in una stanza con altre 22 persone, se una persona confronta il proprio compleanno con i compleanni delle altre persone, ci sarebbero solo 22 confronti, solo 22 possibilità per le persone di condividere lo stesso compleanno.
Ma quando tutti i 23 compleanni vengono confrontati luno con laltro, si ottengono più di 22 confronti. Quanto ancora? Ebbene, la prima persona ha 22 confronti da fare, ma la seconda persona era già paragonata alla prima persona, quindi ci sono solo 21 confronti da fare. La terza persona ha quindi 20 confronti, la quarta persona ne ha 19 e così via. Se si sommano tutti i confronti possibili (22 + 21 + 20 + 19 +… +1) la somma è di 253 confronti o combinazioni. Di conseguenza, ogni gruppo di 23 persone comporta 253 confronti o 253 possibilità di abbinare i compleanni.
Materiali
• Gruppi di 23 o più persone (da 10 a 12 di tali gruppi) o una fonte con compleanni casuali (vedi Preparazione sotto per suggerimenti)
• Carta e penna o matita
• Calcolatrice (opzionale)
Preparazione
• Raccogli i compleanni per gruppi casuali di 23 o più persone. Idealmente dovresti avere da 10 a 12 gruppi di 23 o più persone in modo da avere abbastanza gruppi diversi da confrontare. (Non è necessario lanno per i compleanni, ma solo il mese e il giorno.)
• Suggerimento: ecco alcuni modi per trovare un numero di persone raggruppate in modo casuale: chiedi agli insegnanti della scuola di passare un elenco delle loro classi per raccogliere i compleanni per gli studenti della classe (la maggior parte delle scuole ha circa 25 studenti in una classe); utilizzare i compleanni dei giocatori delle squadre di baseball della major league (queste informazioni possono essere facilmente trovate su Internet); oppure utilizzare i compleanni di altre persone a caso che utilizzano fonti online.
Procedura
• Per ogni gruppo di 23 o più compleanni che hai raccolto, ordinali per vedere se ci sono corrispondenze di compleanno in ogni gruppo.
• Quanti i tuoi gruppi hanno due o più persone con lo stesso compleanno? In base al paradosso del compleanno, quanti gruppi ti aspetteresti di trovare con due persone con lo stesso compleanno? Il paradosso del compleanno è vero?
• Extra: In questo attività hai usato un gruppo di 23 o più persone, ma potresti provarla usando gruppi più grandi utilizzare un gruppo di 366 persone, il maggior numero di giorni che un anno può avere, le probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno sono del 100% (esclusi i compleanni dellanno bisestile del 29 febbraio), ma quali sono, secondo voi, le probabilità in un gruppo di 60 o 75 persone?
• Extra: tirare i dadi è un ottimo modo per indagare sulle probabilità. Puoi provare a lanciare tre dadi a 10 facce e cinque dadi a sei facce 100 volte ciascuno e registrare i risultati di ogni lancio. Calcola la probabilità matematica di ottenere una somma maggiore di 18 per ogni combinazione di dadi tirandoli 100 volte. (Questo sito Web può insegnarti come calcolare la probabilità: Probability Central da Oracle ThinkQuest.) Quale combinazione ha una probabilità matematica più alta ed era vera quando le hai rotolate?
Osservazioni e risultati
Circa il 50 percento di i gruppi di 23 o più persone includono almeno due persone con gli stessi compleanni?
Quando si confrontano le probabilità con i compleanni, può essere più facile osservare la probabilità che le persone non condividano un compleanno. Il compleanno di una persona è una delle 365 possibilità (esclusi i compleanni del 29 febbraio). La probabilità che una persona non abbia lo stesso compleanno di unaltra persona è 364 divisa per 365 perché ci sono 364 giorni che non sono il compleanno di una persona . Ciò significa che due persone qualsiasi hanno una probabilità del 364/365, pari al 99,726027%, di non abbinare i compleanni.
Come accennato in precedenza, in un gruppo di 23 persone, ci sono 253 confronti o combinazioni che possono essere fatto. Quindi, non stiamo guardando solo un confronto, ma 253 confronti. Ognuna delle 253 combinazioni ha le stesse probabilità, 99,726027 percento, di non essere una corrispondenza. Se moltiplichi 99,726027 percento per 99.726027 253 volte, o calcola (364/365) 253, troverai una probabilità del 49,952% che tutti i 253 confronti non contengano corrispondenze. Di conseguenza, la probabilità che ci sia una corrispondenza di compleanno in quei 253 confronti è 1 – 49,952% = 50,048%, o poco più della metà! Più prove esegui, più la probabilità effettiva dovrebbe avvicinarsi al 50%.
Altro da esplorare
“Understanding the Birthday Paradox” da BetterExplained
“Probability Central” da Oracle ThinkQuest
“Combinazioni e permutazioni” di MathIsFun
“Il paradosso del compleanno” di Science Buddies
Questa attività ti è stata offerta in collaborazione con Science Buddies