Rozkład wykładniczy jest jednym z powszechnie używanych rozkładów ciągłych. Jest często używany do modelowania czasu, jaki upłynął między wydarzeniami. Teraz matematycznie zdefiniujemy rozkład wykładniczy i wyprowadzimy jego średnią i oczekiwaną wartość. Następnie opracujemy intuicję dla dystrybucji i omówimy kilka interesujących jej właściwości.

Rysunek 4.5 przedstawia plik PDF z rozkładem wykładniczym dla kilku wartości $ \ lambda $.

Niech $ X \ sim Wykładnicze (\ lambda) $. Możemy znaleźć jego wartość oczekiwaną w następujący sposób, używając całkowania przez części:

Teraz znajdźmy Var $ (X) $. Mamy

Zatem otrzymujemy $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Ciekawą właściwością rozkładu wykładniczego jest to, że można go postrzegać jako ciągły analog Aby to zobaczyć, przypomnij sobie losowy eksperyment związany z rozkładem geometrycznym: rzucasz monetą (powtórz eksperyment Bernoulliego), aż zobaczysz pierwsze orły (sukces). Teraz przypuśćmy, że rzuty monetą to $ \ Delta $ sekund od siebie iw każdym rzucie prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $ p = \ Delta \ lambda $. Przypuśćmy również, że $ \ Delta $ jest bardzo małe, więc rzuty monetą są bardzo blisko siebie w czasie, a prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie wynosi bardzo nisko. Niech $ X $ będzie czasem obserwacji jodły st sukces. W sekcji Rozwiązane problemy pokażemy, że rozkład $ X $ zbiega się do $ Exponential (\ lambda) $, gdy $ \ Delta $ zbliża się do zera.

Aby uzyskać intuicję dotyczącą tej interpretacji rozkładu wykładniczego , przypuśćmy, że czekasz na wydarzenie. Na przykład jesteś w sklepie i czekasz na następnego klienta. W każdej milisekundzie prawdopodobieństwo wejścia nowego klienta do sklepu jest bardzo małe. Możesz sobie wyobrazić, że w każdej milisekundzie rzucana jest moneta (z bardzo małym $ P (H) $), a jeśli wyląduje orzeł, wchodzą nowi klienci. Jeśli rzucasz monetą co milisekundę, czas do przybycia nowego klienta jest w przybliżeniu zgodny z rozkładem wykładniczym.

Powyższa interpretacja wykładni jest przydatna w lepszym zrozumieniu właściwości rozkładu wykładniczego. Najważniejszą z tych właściwości jest to, że rozkład wykładniczy jest bez pamięci. Aby to zobaczyć, pomyśl o wykładniczej zmiennej losowej w sensie rzucania wieloma monetami do momentu zaobserwowania pierwszych głów. Jeśli rzucimy monetą kilka razy i nie obserwujemy orła, to odtąd zaczynamy wszystko od nowa. Innymi słowy, nieudane rzuty monetą nie mają od teraz wpływu na rozkład czasu oczekiwania. Powodem tego jest to, że rzuty monetą są niezależne. Możemy to formalnie określić w następujący sposób: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Z punktu widzenia czasu oczekiwania na przybycie klienta właściwość bez pamięci oznacza, że nie ma znaczenia, jak długo czekałeś jak dotąd. Jeśli nie zaobserwowałeś klienta do czasu $ a $, rozkład czasu oczekiwania (od czasu $ a $) do następnego klienta jest taki sam, jak wtedy, gdy zacząłeś o godzinie zero. Udowodnijmy brak pamięci w rozkładzie wykładniczym. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}