Kluczowe pojęcia
Matematyka
Prawdopodobieństwo
Statystyka
Wprowadzenie
Czy masz zauważyłeś kiedyś, jak czasami to, co wydaje się logiczne, okazuje się fałszywe przy odrobinie matematyki? Na przykład, jak myślisz, ile osób wymagałoby średnio ankiety, aby znaleźć dwie osoby, które mają te same urodziny? Ze względu na prawdopodobieństwo, czasami zdarzenie jest bardziej prawdopodobne, niż nam się wydaje. W takim przypadku, jeśli zbadasz losową grupę zaledwie 23 osób, istnieje około 50–50 szans, że dwie z nich będą miały te same urodziny. Nazywa się to paradoksem urodzin. Nie wierzysz, że to prawda? Możesz to sprawdzić i zobaczyć matematyczne prawdopodobieństwo w działaniu!
Tło
Paradoks urodzin, zwany także problemem urodzin, mówi, że w przypadkowej grupie 23 osób istnieje około 50% szans że dwie osoby mają te same urodziny. Czy to prawda? Istnieje wiele powodów, dla których wydaje się to paradoksem. Jednym z nich jest to, że jeśli ktoś porówna swoje urodziny z urodzinami innych osób w pokoju z 22 innymi osobami, dałoby to tylko 22 porównania – tylko 22 szanse, aby ludzie mieli te same urodziny.
Ale kiedy porównuje się wszystkie 23 urodziny, daje to znacznie więcej niż 22 porównania. O ile więcej? Cóż, pierwsza osoba ma do wykonania 22 porównania, ale druga osoba została już porównana z pierwszą osobą, więc jest tylko 21 porównań. Trzecia osoba ma wtedy 20 porównań, czwarta ma 19 i tak dalej. Jeśli zsumujesz wszystkie możliwe porównania (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), otrzymamy 253 porównań lub kombinacji. W rezultacie każda grupa 23 osób obejmuje 253 porównań lub 253 szanse na dopasowanie urodzin.
Materiały
• Grupy 23 lub więcej osób (od 10 do 12 takich grup) lub źródło z przypadkowymi urodzinami (patrz Przygotowanie poniżej porady)
• Papier i długopis lub ołówek
• Kalkulator (opcjonalnie)
Przygotowanie
• Zbieraj urodziny dla losowych grup liczących 23 lub więcej osób. Najlepiej byłoby zebrać od 10 do 12 grup po 23 lub więcej osób, aby mieć wystarczająco dużo różnych grup do porównania. (Nie potrzebujesz roku na urodziny, tylko miesiąc i dzień).
• Wskazówka: Oto kilka sposobów na znalezienie losowo pogrupowanych osób: Poproś nauczycieli, aby przesłali listę wokół każdego swoich klas, aby zebrać urodziny uczniów w klasie (większość szkół liczy około 25 uczniów w klasie); wykorzystaj daty urodzin graczy z głównych drużyn baseballowych ligi (informacje te można łatwo znaleźć w Internecie); lub użyj urodzin innych losowych osób korzystających ze źródeł online.
Procedura
• Dla każdej zebranej grupy 23 lub więcej urodzin, posortuj je, aby sprawdzić, czy w każdej grupie są jakieś dopasowania urodzinowe.
• Ile z nich w twoich grupach są co najmniej dwie osoby z tymi samymi urodzinami? Na podstawie paradoksu urodzin, ile grup można się spodziewać, że będą miały dwie osoby z tymi samymi urodzinami? Czy paradoks urodzin jest prawdziwy?
• Dodatkowe: w tym W zajęciach wykorzystałeś grupę 23 lub więcej osób, ale możesz spróbować w większych grupach wykorzystaj grupę 366 osób – największą możliwą liczbę dni w roku – prawdopodobieństwo, że dwie osoby obchodzą te same urodziny, wynosi 100 procent (z wyłączeniem urodzin 29 lutego w roku przestępnym), ale jak myślisz, jakie są szanse w grupie 60 czy 75 osób?
• Dodatkowe: Rzut kostką to świetny sposób na zbadanie prawdopodobieństwa. Możesz spróbować po 100 razy rzucić trzema 10-ściennymi i pięcioma sześciościennymi kośćmi i zapisać wyniki każdego rzutu. Oblicz matematyczne prawdopodobieństwo otrzymania sumy wyższej niż 18 dla każdej kombinacji kostek, gdy rzucisz nimi 100 razy. (W tej witrynie sieci Web można znaleźć informacje na temat obliczania prawdopodobieństwa: Centrum prawdopodobieństwa z Oracle ThinkQuest). Która kombinacja ma większe prawdopodobieństwo matematyczne i czy było to prawdą podczas ich obliczania?
Obserwacje i wyniki
Czy około 50 procent grupy składające się z 23 lub więcej osób obejmują co najmniej dwie osoby z tymi samymi datami urodzin?
Porównując prawdopodobieństwo z datą urodzenia, łatwiej jest spojrzeć na prawdopodobieństwo, że ludzie nie mają takich samych urodzin. Urodziny osoby to jedna z 365 możliwości (z wyłączeniem urodzin 29 lutego). Prawdopodobieństwo, że dana osoba nie ma tych samych urodzin co inna osoba, wynosi 364 podzielone przez 365, ponieważ istnieją 364 dni, które nie są datami urodzin osoby. . Oznacza to, że dowolne dwie osoby mają 364/365 lub 99,726027 procent szans na niepasowanie daty urodzin.
Jak wspomniano wcześniej, w grupie 23 osób istnieje 253 porównań lub kombinacji, które mogą być zrobione. Tak więc nie patrzymy na jedno porównanie, ale na porównania 253. Każda z 253 kombinacji ma takie same szanse (99,726027%) na brak dopasowania. Jeśli pomnożymy 99,726027 procent przez 99.726027 253 razy lub oblicz (364/365) 253, znajdziesz 49,952% prawdopodobieństwa, że żadne 253 porównania nie zawierają żadnych dopasowań. W rezultacie prawdopodobieństwo, że w tych 253 porównaniach wystąpią urodziny, to 1 – 49,952 procent = 50,048 procent, czyli nieco ponad połowa! Im więcej wykonasz prób, tym bardziej rzeczywiste prawdopodobieństwo powinno zbliżyć się do 50%.
Więcej do zbadania
„Understanding the Birthday Paradox” z BetterExplained
„Probability Central” firmy Oracle ThinkQuest
„Kombinacje i permutacje” z MathIsFun
„Urodzinowy paradoks” autorstwa Science Buddies
To ćwiczenie stworzone we współpracy z Science Buddies