Odsetki złożone

Okresowe składanieEdytuj

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P „= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

gdzie:

P to pierwotna suma główna P” to nowa suma główna r to nominalna roczna stopa oprocentowania n jest częstotliwością kapitalizacji t oznacza całkowity okres stosowania odsetek (wyrażony w tych samych jednostkach czasu co r, zwykle w latach).

Łączne wygenerowane odsetki składane to wartość końcowa pomniejszona o początkowy kapitał:

ja = p (1 + rn) nt – p {\ displaystyle I = p \ lewo (1 + {\ frac {r} { n}} \ prawej) ^ {nt} -P}

Przykład 1Edytuj

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ Displaystyle P „= 1 \, 500 \ razy \ lewo (1 + {\ Frac {0,043} {4}} \ prawej) ^ {4 \ razy 6} \ około 1 \, 938,84}

Więc nowy główny P ′ {\ displaystyle P „} po 6 lat to około 1938,84 dolarów.

Odejmowanie pierwotnego kapitału od tej kwoty daje kwotę otrzymanych odsetek:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ Displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Przykład 2Edytuj

P ′ = 1500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1921,24 {\ Displaystyle P „= 1 \, 500 \ razy \ lewo (1+ ( 0,043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ około 1 \, 921,24}

Zatem saldo po 6 latach wynosi około 1921,24 USD.

Kwota otrzymane odsetki można obliczyć, odejmując kapitał od tej kwoty.

1921,24 – 1500 = 421,24 {\ Displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Odsetki są mniejsze w porównaniu z poprzednim przypadkiem, ze względu na niższą częstotliwość składania.

Funkcja akumulacjiEdit

Ponieważ kapitał P jest po prostu współczynnikiem, jest często pomijany dla uproszczenia, a zamiast tego używana jest wynikowa funkcja akumulacji. Funkcja kumulacji pokazuje, do czego rośnie 1 dolar po jakimś czasie.

Funkcje sumowania dla odsetek prostych i składanych to

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ lewo (1 + {\ Frac {r} {n}} \ prawo) ^ {nt}}

Jeśli nt = 1 {\ Displaystyle nt = 1}, to te dwie funkcje są takie same.

Ciągłe łączenieEdytuj

As n , liczba okresów łączenia w roku rośnie bez ograniczeń, przypadek jest znany jako łączenie ciągłe, w którym to przypadku efektywna roczna stopa procentowa zbliża się do górnej granicy er – 1, gdzie e jest stałą matematyczną stanowiącą podstawę logarytm.

Ciągłe składanie można traktować jako nieskończenie mały okres łączenia, osiągany przez przyjęcie granicy, gdy n dąży do nieskończoności. Zobacz definicje funkcji wykładniczej, aby uzyskać matematyczny dowód tej granicy. Kwota po t okresach ciągłego łączenia może być wyrażona jako kwota początkowa P0 jako

P (t) = P 0 e r t. {\ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Siła zainteresowaniaEdytuj

Ponieważ liczba okresów składających się n {\ Displaystyle n} osiąga nieskończoność w ciągłym składaniu, ciągła złożona stopa procentowa jest określana jako siła oprocentowania δ {\ Displaystyle \ delta}.

W matematyce funkcje akumulacji są często wyrażane jako e, podstawa logarytmu naturalnego. Ułatwia to użycie rachunku różniczkowego do manipulowania formułami procentowymi.

Dla każdej stale różniczkowalnej funkcji akumulacji a (t) siła będąca przedmiotem zainteresowania lub, bardziej ogólnie, logarytmiczny lub ciągły zwrot składany jest funkcją czasu zdefiniowaną jako następuje:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ Displaystyle \ delta _ {t} = {\ Frac {a „(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

To jest logarytmiczna pochodna funkcji akumulacji.

Odwrotnie:

a (t ) = mi ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (od (0) = 1 {\ Displaystyle a (0) = 1}; można to postrzegać jako szczególny przypadek całki iloczynowej).

Gdy powyższy wzór jest zapisany w formacie równania różniczkowego, to siła będąca przedmiotem zainteresowania jest po prostu współczynnikiem kwota zmiany:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Dla odsetek składanych z stała roczna stopa procentowa r, siła oprocentowania jest stała t, a funkcja akumulacji składających się odsetek pod względem siły zainteresowania jest prostą potęgą e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ Displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } lub a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Siła odsetek jest mniejsza niż roczna efektywna stopa procentowa, ale większa niż roczna efektywna dyskonto oceniać. To odwrotność czasu e-foldingu. Zobacz także notację stóp procentowych.

Compounding baseEdit

Aby przeliczyć stopę procentową z jednej podstawy na inną, użyj

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

gdzie r1 to stopa procentowa z częstotliwością łączenia n1, andr2 to stopa procentowa z częstotliwością łączenia n2.

Gdy odsetki są stale łączone, użyj

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ Displaystyle \ delta = n \ ln {\ lewo (1 + {\ Frac {r} {n}} \ right)},}

gdzie δ {\ displaystyle \ delta} jest stopą procentową na zasadzie ciągłej kapitalizacji, a r jest podaną stopą procentową z częstotliwością łączenia n.

Miesięczna amortyzowana pożyczka lub hipoteka paymentEdit

Odsetki od pożyczek i kredytów hipotecznych, które są amortyzowane – to znaczy mają płynną miesięczną spłatę do momentu spłaty pożyczki – są często składane co miesiąc. Formuła płatności pochodzi z następującego argumentu.

Dokładna formuła płatności miesięcznejEdytuj

Dokładna formuła płatności miesięcznej (c {\ displaystyle c}) to

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ Frac {Pr} {1 – {\ Frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

lub równoważnie

c = P r 1 – mi – n ln ⁡ (1 + r) {\ Displaystyle c = {\ Frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

gdzie:

c {\ displaystyle c} = miesięczna płatność P {\ displaystyle P} = główny r {\ displaystyle r} = miesięczna stopa procentowa n {\ displaystyle n} = liczba okresów płatności

Można to obliczyć, biorąc pod uwagę, ile pozostało do spłaty po każdym miesiącu.
Główny pozostały po pierwszym miesiącu to

P 1 = (1 + r) P – c, {\ Displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

czyli kwota początkowa plus odsetki pomniejszona o płatność.
Jeśli cała pożyczka jest spłacana po jednym miesiącu, to

P 1 = 0 {\ Displaystyle P_ {1} = 0}, więc P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Po drugim miesiącu pozostaje P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ Displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c}, więc

p 2 = (1 + r) ((1 + r) p – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) szt) -c}

Jeśli cała pożyczka została spłacona po dwóch miesiącach,

P 2 = 0 {\ Displaystyle P_ {2} = 0}, więc P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ Frac {c} {1 + r}} + {\ Frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

co można zmienić, aby uzyskać

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – mi – n ln ⁡ (1 + r) {\ Displaystyle c = {\ Frac {Pr} {1 – {\ Frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Formuła arkusza kalkulacyjnego

W arkuszach kalkulacyjnych PMT ( ) jest używana. Składnia jest następująca:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets.

Na przykład dla oprocentowanie 6% (0,06 / 12), 25 lat * 12 lat, PV 150 000 $, FV 0, typ 0 daje:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = 966,45 $

Przybliżony wzór na miesięczną płatnośćEdytuj

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ Displaystyle c \ około {\ Frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

co sugeruje zdefiniowanie zmiennych pomocniczych

Y ≡ nr = TO {\ Displaystyle Y \ equiv nr = IT} do 0 ≡ P n {\ Displaystyle c_ {0} \ equiv {\ Frac {P} {n}}}.

Tutaj c 0 {\ displaystyle c_ {0}} to miesięczna płatność wymagana dla pożyczki z zerowymi odsetkami spłacona w ratach n {\ displaystyle n}. Pod względem tych zmiennych aproksymacja może być zapisana

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ ok c_ {0} {\ Frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funkcja f (Y) ≡ Y 1 – mi – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ Frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ Frac {Y} {2}}} jest parzyste:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

co oznacza, że można go rozszerzyć w równych potęgach Y {\ Displaystyle Y}.

Będzie to wygodne do określenia

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ Displaystyle X = {\ Frac {1} { 2}} Y = {\ Frac {1} {2}} IT}

tak, że

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ ok c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

, które można rozszerzyć:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +…) {\ displaystyle c \ ok c_ {0} \ lewo (1 + X + {\ Frac {X ^ {2}} {3}} – {\ Frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

gdzie wielokropki wskazują wyrazy wyższego rzędu w parzystych potęgach X {\ displaystyle X}. Rozwinięcie

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ Displaystyle P \ ok P_ {0} \ lewo (1 + X + {\ Frac {X ^ {2}} {3}} \ right)}

jest ważny do lepszego niż 1% pod warunkiem, że X ≤ 1 {\ Displaystyle X \ równoważnik 1}.

Przykład spłaty kredytu hipotecznegoEdytuj

Dla kredytu hipotecznego 10.000 dolarów z okres 30 lat i notatka w wysokości 4,5%, płatne co roku, znajdujemy:

T = 30 {\ Displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ Displaystyle I = 0,045}

co daje

X = 1 2 IT = 0,675 {\ Displaystyle X = {\ Frac {1} {2}} IT = 0,675}

tak, że

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = 333,33 USD (1 + 0,675 + 0,675 2/3) = 608,96 USD {\ Displaystyle P \ około P_ {0} \ lewo (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Inwestowanie: miesięczne depozytyEdytuj

Biorąc pod uwagę depozyt główny (początkowy) i depozyt okresowy, całkowity zwrot z inwestycji można obliczyć na podstawie odsetek składanych uzyskanych na jednostkę czasu. W razie potrzeby odsetki od dodatkowych jednorazowych i okresowych depozytów można również zdefiniować w ramach tego samego wzoru (patrz poniżej).

P {\ Displaystyle P} = Główny depozyt r {\ Displaystyle r} = Stopa zwrotu ( miesięcznie) M {\ displaystyle M} = miesięczny depozyt it {\ displaystyle t} = czas, w miesiącach M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Jeśli wystąpią dwa lub więcej typów depozytów (powtarzające się lub jednorazowe), zarobione odsetki można przedstawić jako

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – r {\ Displaystyle M {\ Frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ Frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} gdzie C i k to odpowiednio jednorazowe i cykliczne depozyty, a x i y to różnice w czasie między nowym depozytem a dowolną zmienną t {\ displaystyle t} to modelowanie.