Podczas gdy pionowe asymptoty opisują zachowanie wykresu, gdy wynik staje się bardzo duży lub bardzo mały, poziome asymptoty pomagają opisać zachowanie wykresu, gdy wejście staje się bardzo duże lub bardzo mały. Przypomnij sobie, że końcowe zachowanie wielomianu będzie odzwierciedlać zachowanie terminu wiodącego. Podobnie, końcowe zachowanie funkcji wymiernej będzie odzwierciedlać stosunek wiodących składników funkcji licznika i mianownika.
Podczas sprawdzania asymptot poziomych występują trzy różne wyniki:
Przypadek 1: Jeśli stopień mianownika > stopień licznika, występuje pozioma asymptota w miejscu y = 0.
Przypadek 2: Jeśli stopień mianownika < stopień licznika o jeden, otrzymamy asymptotę skośną.
Zauważ, że chociaż wykres funkcji wymiernej nigdy nie przecina pionowej asymptoty, wykres może, ale nie musi, przecinać poziomy lub asymptota skośna. Ponadto, chociaż wykres funkcji wymiernej może mieć wiele asymptot pionowych, wykres będzie miał co najwyżej jedną asymptotę poziomą (lub skośną).
Należy zauważyć, że jeśli stopień licznika jest większy niż stopień mianownika o więcej niż jeden, końcowe zachowanie wykresu będzie naśladować zachowanie zredukowanego zachowania końcowego \ ułamek. Na przykład, gdybyśmy mieli funkcję
z zachowaniem końcowym
końcowe zachowanie wykresu wyglądałoby podobnie do zachowania parzystego wielomianu z dodatnim współczynnikiem wiodącym.
Ogólna uwaga: poziome asymptoty Funkcje wymierne
Poziomą asymptotę funkcji wymiernej można określić, patrząc na stopnie licznika i mianownika.
- Stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika: asymptota pozioma przy y = 0.
- Stopień licznika jest większy niż stopień mianownika o jeden: brak asymptoty poziomej; asymptota skośna.
- Stopień licznika jest równy stopniowi mianownika: asymptota pozioma przy stosunku współczynników wiodących.
Uwaga ogólna: Punkty przecięcia z funkcjami wymiernymi
Funkcja wymierna będzie miała punkt przecięcia z osią y, gdy wartość wejściowa wynosi zero, jeśli funkcja jest zdefiniowana jako zero. Funkcja wymierna nie będzie miała punktu przecięcia z osią y, jeśli funkcja nie jest zdefiniowana jako zero.
Podobnie funkcja wymierna będzie miała przecięcia z osią x na wejściach, które spowodują, że na wyjściu będzie zero. Ponieważ \ ułamek jest równy zero tylko wtedy, gdy licznik jest równy zero, przecięcia z osią x mogą wystąpić tylko wtedy, gdy licznik funkcji wymiernej jest równy zero.
Spróbuj 7
Biorąc pod uwagę funkcję odwrotności do kwadratu, która jest przesunięta o 3 jednostki w prawo io 4 jednostki w dół, zapisz to jako funkcję wymierną. Następnie znajdź punkty przecięcia z osiami x– i y oraz asymptoty poziome i pionowe.
Rozwiązanie