Archimedes (Polski)

Jego prace

Istnieje dziewięć zachowanych traktatów Archimedesa w języku greckim. Główne wyniki z książki On the Sphere and Cylinder (w dwóch książkach) są takie, że pole powierzchni każdej kuli o promieniu r jest czterokrotnie większe od jej największego koła (w notacji współczesnej S = 4πr2) oraz że objętość kuli jest równa dwie trzecie cylindra, w który jest wpisany (co prowadzi bezpośrednio do wzoru na objętość, V = 4 / 3πr3). Archimedes był na tyle dumny z tego ostatniego odkrycia, że zostawił instrukcje dotyczące oznaczenia jego grobu kulą wpisaną w cylinder. Marcus Tullius Cicero (106–43 pne) znalazł grób, porośnięty roślinnością, półtora wieku po śmierci Archimedesa.

Pomiar koła to fragment dłuższej pracy, w której π (pi), stosunek obwodu do średnicy koła, leży między granicami 3 10/71 i 3 1/7. Podejście Archimedesa do określenia π, które polega na wpisywaniu i opisywaniu regularnych wielokątów z dużą liczbą boków, było stosowane przez wszystkich, aż do powstania nieskończonych serii ekspansji w Indiach w XV wieku i w Europie w XVII wieku. Ta praca zawiera również dokładne przybliżenia (wyrażone jako współczynniki liczb całkowitych) do pierwiastków kwadratowych z 3 i kilku dużych liczb.

Na konoidach i sferoidach zajmuje się określaniem objętości segmentów ciał stałych utworzonych przez obrót przekrój stożkowy (okrąg, elipsa, parabola lub hiperbola) wokół własnej osi. W dzisiejszych czasach są to problemy integracji. (Zobacz rachunek różniczkowy). On Spirals rozwija wiele właściwości stycznych do spirali Archimedesa i obszarów z nią powiązanych – tj. Locus punktu poruszającego się z jednakową prędkością wzdłuż prostej, która sama obraca się z jednakową prędkością wokół stałego punktu . Była to jedna z niewielu krzywych poza linią prostą i przekrojami stożkowymi znanymi w starożytności.

O równowadze płaszczyzn (lub środkach ciężkości płaszczyzn; w dwóch książkach) zajmuje się głównie ustaleniem środki ciężkości różnych prostoliniowych figur płaskich i segmentów paraboli i paraboloidy. Pierwsza książka ma na celu ustanowienie „prawa dźwigni” (równanie wielkości w odległościach od punktu podparcia w odwrotnym stosunku do ich wag) i to głównie na podstawie tego traktatu Archimedes został nazwany twórcą mechaniki teoretycznej. Jednak znaczna część tej książki jest niewątpliwie nieautentyczna i składa się z nieudolnych późniejszych uzupełnień lub przeróbek, i wydaje się prawdopodobne, że ustalono podstawową zasadę prawa dźwigni i – być może – koncepcję środka ciężkości. matematycznie przez uczonych wcześniej niż Archimedes. Jego wkład polegał raczej na rozszerzeniu tych koncepcji na sekcje stożkowe.

Kwadratura paraboli demonstruje, najpierw za pomocą środków „mechanicznych” (jak w metodzie omówionej poniżej) i następnie konwencjonalnymi metodami geometrycznymi, że pole dowolnego segmentu paraboli stanowi 4/3 powierzchni trójkąta mającego taką samą podstawę i wysokość jak ten segment. To znowu problem z integracją.

Piaskowy rozrachunek to mały traktat, który jest jeu desprit napisany dla laika – jest adresowany do Gelona, syna Hierona – który jednak zawiera trochę głęboko oryginalnej matematyki. Jego celem jest zaradzenie niedoskonałościom greckiego systemu notacji numerycznej poprzez pokazanie, jak wyrazić ogromną liczbę – liczbę ziarenek piasku, których potrzeba by wypełnić cały wszechświat. W efekcie Archimedes tworzy system notacji wartości miejsc, z podstawą 100 000 000. (To był najwyraźniej całkowicie oryginalny pomysł, ponieważ nie znał współczesnego babilońskiego systemu wartości miejsca o podstawie 60). Praca jest również interesująca, ponieważ zawiera najbardziej szczegółowy zachowany opis heliocentrycznego systemu Arystarcha z Samos ( ok. 310–230 pne) i ponieważ zawiera opis genialnej procedury, którą Archimedes zastosował do określenia pozornej średnicy Słońca poprzez obserwację za pomocą instrumentu.

Metoda dotycząca twierdzeń mechanicznych opisuje proces odkryć w matematyce . Jest to jedyne zachowane dzieło ze starożytności i jedno z nielicznych z dowolnego okresu, które dotyczy tego tematu.Archimedes opowiada w nim o tym, jak wykorzystał metodę „mechaniczną”, aby dojść do niektórych swoich kluczowych odkryć, w tym obszaru segmentu parabolicznego oraz pola powierzchni i objętości kuli. Technika polega na podzieleniu każdej z dwóch postaci na nieskończoną ale równą liczbę nieskończenie cienkich pasków, a następnie „ważenie” każdej odpowiadającej im pary tych pasków względem siebie na teoretycznej wadze, aby otrzymać stosunek dwóch oryginalnych liczb. Archimedes podkreśla, że chociaż użyteczna jako metoda heurystyczna, ta procedura nie stanowi rygorystycznego dowodu.

On Floating Bodies (w dwóch książkach) zachował się tylko częściowo w języku greckim, reszta w średniowiecznym tłumaczeniu łacińskim z greckiego . Jest to pierwsza znana praca dotycząca hydrostatyki, której twórcą jest Archimedes. Jego celem jest określenie pozycji, jakie przyjmą różne ciała stałe unoszące się w płynie, zgodnie z ich formą i zmianami ich ciężaru właściwego. W pierwszej książce ustalono różne ogólne zasady, w szczególności to, co stało się znane jako zasada Archimedesa: ciało stałe gęstsze niż płyn, zanurzone w tym płynie, będzie lżejsze pod względem ciężaru wypartego płynu. Druga książka to matematyczne tour de force niespotykane w starożytności i od tamtej pory rzadko dorównujące. W nim Archimedes określa różne pozycje stabilności, które przyjmuje prawy paraboloid obrotu podczas pływania w płynie o większym ciężarze właściwym, zgodnie z wahaniami geometrycznymi i hydrostatycznymi.

Archimedes jest znany z odniesień późniejszych autorów: napisać szereg innych dzieł, które nie przetrwały. Szczególnie interesujące są traktaty o katoptryce, w których omawiał między innymi zjawisko refrakcji; na 13 półregularnych (archimedesowych) wielościanach (ciała ograniczone regularnymi wielokątami, niekoniecznie wszystkich tego samego typu, które można wpisać w kulę); oraz „Problem bydła” (zachowany w greckim fraszku), który stwarza problem w nieokreślonej analizie, z ośmioma niewiadomymi. Oprócz nich zachowało się kilka dzieł w tłumaczeniu arabskim przypisywanym Archimedesowi, których nie mógł skomponować w swoim obecną formę, chociaż mogą zawierać elementy „archimedesa”. Wśród nich jest praca nad wpisaniem regularnego siedmiokąta w okrąg; zbiór lematów (twierdzeń uznanych za prawdziwe, które są używane do udowodnienia twierdzenia) oraz książka O dotykających się kręgach, oba dotyczące elementarnej geometrii płaszczyzny; i Żołądek (którego części również zachowały się w języku greckim), zajmujący się kwadratem podzielonym na 14 części do gry lub układanki.

Matematyczne dowody i prezentacja Archimedesa wykazują wielką śmiałość i oryginalność myśli w jednym z drugiej strony i ekstremalny rygor, spełniający najwyższe standardy współczesnej geometrii. Podczas gdy Metoda pokazuje, że doszedł on do wzorów na pole powierzchni i objętości kuli poprzez „mechaniczne” rozumowanie z udziałem nieskończenie małych, w swoich faktycznych dowodach wyników w Sferze i Cylindrze używa tylko rygorystycznych metod kolejnych skończonych przybliżeń, które zostały wynalezione przez Eudoksosa z Knidos w IV wieku pne. Metody te, których mistrzem był Archimedes, są standardową procedurą we wszystkich jego pracach nad wyższą geometrią, które zajmują się dowodzeniem wyników dotyczących obszarów i objętości. do „dowodów” pierwszych praktyków rachunku całkowego w XVII wieku, kiedy nieskończenie małe zostały ponownie wprowadzone do matematyki. Jednak wyniki Archimedesa są nie mniej imponujące niż ich. Ta sama wolność od konwencjonalnych sposobów myślenia jest widoczna w dziedzinie arytmetycznej w Sand-Reckoner, która pokazuje głębokie zrozumienie natury systemu liczbowego.

W starożytności Archimedes był również znany jako wybitny astronom: jego obserwacje przesilenia były wykorzystywane przez Hipparcha (rozkwit ok. 140 pne), czołowego starożytnego astronoma. Niewiele wiadomo o tej stronie działalności Archimedesa, chociaż Sand-Reckoner ujawnia jego żywe zainteresowanie astronomią i praktyczne zdolności obserwacyjne. Został jednak przekazany zbiór liczb przypisywanych mu, określających odległości różnych ciał niebieskich od Ziemi, które, jak wykazano, nie są oparte na obserwowanych danych astronomicznych, ale na teorii „pitagorejskiej” łączącej odstępy przestrzenne między planety z muzycznymi interwałami. Chociaż jest to zaskakujące, gdy można znaleźć te metafizyczne spekulacje w pracy praktykującego astronoma, jest dobry powód, by sądzić, że przypisywanie ich Archimedesowi jest poprawne.