Un parallelogramma può essere riorganizzato in un rettangolo con la stessa area.
Animazione per la formula dellarea K = bh {\ displaystyle K = bh}.
Tutte le formule dellarea per quadrilateri convessi generali si applicano ai parallelogrammi. Ulteriori formule sono specifiche per i parallelogrammi:
Un parallelogramma con base be altezza h può essere diviso in un trapezio e un triangolo rettangolo, e riorganizzato in un rettangolo, come mostrato nella figura a sinistra. Ciò significa che larea di un parallelogramma è uguale a quella di un rettangolo con la stessa base e altezza:
K = b h. {\ displaystyle K = bh.}
Larea del parallelogramma è larea della regione blu, che è linterno del parallelogramma
La formula dellarea base × altezza può anche essere derivata usando la figura a destra. Larea K del parallelogramma a destra (larea blu) è larea totale del rettangolo meno larea dei due triangoli arancioni. Larea del rettangolo è
K rect = (B + A) × H {\ displaystyle K _ {\ text {rect}} = (B + A) \ times H \,}
e larea di un singolo triangolo arancione è
K tri = 1 2 A × H. {\ displaystyle K _ {\ text {tri}} = {\ frac {1} {2}} A \ times H. \,}
Pertanto, larea del parallelogramma è
K = K rect – 2 × K tri = ((B + A) × H) – (A × H) = B × H. {\ Displaystyle K = K _ {\ text {rect}} – 2 \ times K _ {\ text {tri}} = ((B + A) \ times H) – (A \ times H) = B \ times H.}
Unaltra formula dellarea, per due lati B e C e langolo θ, è
K = B ⋅ C ⋅ sin θ. {\ Displaystyle K = B \ cdot C \ cdot \ sin \ theta. \,}
Larea di un parallelogramma con i lati B e C (B ≠ C) e langolo γ {\ displaystyle \ gamma} allintersezione di la diagonale è data da
K = | tan γ | 2 ⋅ | B 2 – C 2 | . {\ displaystyle K = {\ frac {| \ tan \ gamma |} {2}} \ cdot \ left | B ^ {2} -C ^ {2} \ right |.}
Quando il parallelogramma è specificato da le lunghezze B e C di due lati adiacenti insieme alla lunghezza D1 di una delle diagonali, quindi larea può essere trovata dalla formula di Heron. Nello specifico è
K = 2 S (S – B) (S – C ) (S – D 1) {\ displaystyle K = 2 {\ sqrt {S (SB) (SC) (S-D_ {1})}}}
Area in termini di coordinate cartesiane dei verticiModifica
Siano i punti a, b, c ∈ R 2 {\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R} ^ {2}}. Allora larea del parallelogramma con vertici in a, bec è equivalente al valore assoluto del determinante di una matrice costruita usando a, bec come righe con lultima colonna riempita usando quelle come segue:
K = | det |. {\ displaystyle K = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & 1 \\ b_ {1} & b_ {2} & 1 \\ c_ {1} & c_ {2} & 1 \ end {bmatrix}} \ right |.}