Kernbegrippen
Wiskunde
Waarschijnlijkheid
Statistieken
Inleiding
Heb jij heb je ooit gemerkt hoe soms wat logisch lijkt, met een beetje wiskunde niet waar blijkt te zijn? Hoeveel mensen denkt u bijvoorbeeld nodig te hebben om gemiddeld twee mensen te vinden die dezelfde verjaardag delen? Vanwege de waarschijnlijkheid is de kans groter dat een gebeurtenis plaatsvindt dan we denken. Als u in dit geval een willekeurige groep van slechts 23 mensen ondervraagt, is er in feite een kans van ongeveer 50-50 dat twee van hen dezelfde verjaardag zullen hebben. Dit staat bekend als de verjaardagsparadox. Geloof je niet dat het waar is? Je kunt het testen en de wiskundige waarschijnlijkheid in actie zien!
Achtergrond
De verjaardagsparadox, ook wel bekend als het verjaardagsprobleem, stelt dat er in een willekeurige groep van 23 mensen ongeveer 50 procent kans is dat twee mensen dezelfde verjaardag hebben. Is dit echt waar? Er zijn meerdere redenen waarom dit een paradox lijkt. Een daarvan is dat wanneer iemand in een kamer is met 22 andere mensen, als iemand zijn of haar verjaardag vergelijkt met de verjaardagen van de andere mensen, dit slechts 22 vergelijkingen oplevert – slechts 22 kansen voor mensen om dezelfde verjaardag te delen.
Maar als alle 23 verjaardagen met elkaar worden vergeleken, levert dat veel meer dan 22 vergelijkingen op. Hoeveel meer? Welnu, de eerste persoon heeft 22 vergelijkingen te maken, maar de tweede persoon werd al vergeleken met de eerste persoon, dus er zijn maar 21 vergelijkingen om te maken. De derde persoon heeft dan 20 vergelijkingen, de vierde persoon heeft er 19, enzovoort. Als je alle mogelijke vergelijkingen bij elkaar optelt (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), is de som 253 vergelijkingen of combinaties. Bijgevolg omvat elke groep van 23 mensen 253 vergelijkingen, of 253 kansen om verjaardagen te matchen.
Materialen
• Groepen van 23 of meer mensen (10 tot 12 van dergelijke groepen) of een bron met willekeurige verjaardagen (zie Voorbereiding hieronder voor tips)
• Papier en pen of potlood
• Rekenmachine (optioneel)
Voorbereiding
• Verzamel verjaardagen voor willekeurige groepen van 23 of meer mensen. Idealiter zou je 10 tot 12 groepen van 23 of meer mensen moeten hebben, zodat je genoeg verschillende groepen hebt om te vergelijken. (Je hebt het jaar niet nodig voor de verjaardagen, alleen de maand en de dag.)
• Tip: hier zijn een paar manieren waarop je een aantal willekeurig gegroepeerde mensen kunt vinden: vraag leerkrachten om een lijst rond elk van hun klassen om de verjaardagen voor leerlingen in de klas te verzamelen (de meeste scholen hebben ongeveer 25 leerlingen in een klas); gebruik de verjaardagen van spelers van honkbalteams uit de Major League (deze informatie is gemakkelijk te vinden op internet); of gebruik de verjaardagen van andere willekeurige mensen die online bronnen gebruiken.
Procedure
• Voor elke groep van 23 of meer verjaardagen die je hebt verzameld, sorteer je ze om te zien of er verjaardagswedstrijden in elke groep zijn.
• Hoeveel van uw groepen hebben twee of meer mensen met dezelfde verjaardag? Op basis van de verjaardagsparadox, hoeveel groepen zou u verwachten te vinden met twee mensen met dezelfde verjaardag? Is de verjaardagsparadox waar?
• Extra: hierin activiteit je hebt een groep van 23 of meer mensen gebruikt, maar je zou het kunnen proberen met grotere groepen een groep van 366 mensen gebruiken – het grootste aantal dagen dat een jaar kan hebben – is de kans dat twee mensen dezelfde verjaardag hebben 100 procent (exclusief 29 februari schrikkeljaarverjaardagen), maar wat denk je dat de kansen zijn in een groep van 60 of 75 mensen?
• Extra: Met dobbelstenen rollen is een geweldige manier om waarschijnlijkheid te onderzoeken. Je zou kunnen proberen om elk 100 keer drie 10-zijdige dobbelstenen en vijf zeszijdige dobbelstenen te gooien en de resultaten van elke worp vast te leggen. Bereken de wiskundige kans om een som hoger dan 18 te krijgen voor elke combinatie van dobbelstenen als je ze 100 keer gooit. (Deze website kan u leren hoe u waarschijnlijkheid kunt berekenen: Probability Central van Oracle ThinkQuest.) Welke combinatie heeft een hogere wiskundige waarschijnlijkheid, en was dit waar toen u ze gooide?
Observaties en resultaten
Heeft ongeveer 50 procent van de de groepen van 23 of meer mensen omvatten minstens twee mensen met dezelfde verjaardagen?
Als je kansen vergelijkt met verjaardagen, kan het gemakkelijker zijn om te kijken naar de kans dat mensen geen verjaardag delen. De verjaardag van een persoon is een van de 365 mogelijkheden (exclusief verjaardagen van 29 februari). De kans dat een persoon niet dezelfde verjaardag heeft als een andere persoon is 364 gedeeld door 365 omdat er 364 dagen zijn die niet de verjaardag van een persoon zijn . Dit betekent dat twee mensen een kans van 364/365 of 99,726027 procent hebben om verjaardagen niet te matchen.
Zoals eerder vermeld, zijn er in een groep van 23 mensen 253 vergelijkingen, of combinaties, die kunnen gemaakt zijn. Dus we kijken niet naar slechts één vergelijking, maar naar 253 vergelijkingen. Elk van de 253 combinaties heeft dezelfde kans, 99,726027 procent, om geen match te zijn. Als je 99,726027 procent vermenigvuldigt met 99.726027 253 keer, of bereken (364/365) 253, je “zult zien” dat er een kans van 49,952 procent is dat alle 253 vergelijkingen geen overeenkomsten bevatten. Bijgevolg is de kans dat er een verjaardagswedstrijd is in die 253 vergelijkingen 1 – 49,952 procent = 50,048 procent, of iets meer dan de helft! Hoe meer tests u uitvoert, hoe dichter de werkelijke waarschijnlijkheid 50 procent zou moeten benaderen.
Meer te ontdekken
“Understanding the Birthday Paradox” van BetterExplained
“Probability Central” van Oracle ThinkQuest
“Combinaties en permutaties” van MathIsFun
“The Birthday Paradox” van Science Buddies
Deze activiteit wordt u aangeboden in samenwerking met Science Buddies