Samengestelde rente

Periodiek samenstellen Bewerken

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P “= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

waarbij:

P is de oorspronkelijke hoofdsom P” is de nieuwe hoofdsom r is de nominale jaarlijkse rentevoet n is de samengestelde frequentie t is de totale tijdsduur dat de rente wordt toegepast (uitgedrukt in dezelfde tijdseenheden als r, meestal jaren).

De totale gegenereerde samengestelde rente is de uiteindelijke waarde minus de oorspronkelijke hoofdsom:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Voorbeeld 1Edit

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1938,84 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ ca. 1 \, 938.84}

Dus de nieuwe hoofdsom P ′ {\ displaystyle P “} na 6 jaar is ongeveer $ 1.938,84.

Als u de oorspronkelijke hoofdsom van dit bedrag aftrekt, krijgt u het bedrag aan ontvangen rente:

1938,84 – 1500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938.84-1 \, 500 = 438.84}

Voorbeeld 2Edit

P ′ = 1500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1921,24 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1+ ( 0,043 \ maal 2) \ rechts) ^ {\ frac {6} {2}} \ circa 1 \, 921,24}

Het saldo na 6 jaar is dus ongeveer $ 1.921,24.

Het bedrag van ontvangen rente kan worden berekend door de hoofdsom van dit bedrag af te trekken.

1921.24 – 1500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921.24-1 \, 500 = 421 .24}

De rente is minder in vergelijking met het vorige geval, als gevolg van de lagere samengestelde frequentie.

Accumulatiefunctie Bewerken

Aangezien de hoofdsom P gewoon een coëfficiënt is, eenvoudigheidshalve wordt het vaak weggelaten en in plaats daarvan wordt de resulterende accumulatiefunctie gebruikt. De accumulatiefunctie laat zien waar $ 1 na verloop van tijd toe groeit.

Accumulatiefuncties voor enkelvoudige en samengestelde rente zijn

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Als nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, dan zijn deze twee functies hetzelfde.

Continuous compoundingEdit

Als n , het aantal samengestelde perioden per jaar, neemt onbeperkt toe, het geval staat bekend als continue samenstelling, in welk geval de effectieve jaarlijkse rente een bovengrens van er – 1 nadert, waarbij e een wiskundige constante is die de basis vormt van de natuurlijke logaritme.

Continu samenstellen kan worden gezien als het oneindig klein maken van de samengestelde periode, bereikt door de limiet te nemen als n naar oneindig gaat. Zie definities van de exponentiële functie voor het wiskundig bewijs van deze limiet. De hoeveelheid na t periodes van continue bereiding kan worden uitgedrukt in termen van de initiële hoeveelheid P0 als

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force of interestEdit

Naarmate het aantal samengestelde perioden n {\ displaystyle n} oneindig wordt bij continu samenstellen, de continue samengestelde rentevoet wordt de rentekracht δ {\ displaystyle \ delta} genoemd.

In de wiskunde worden de accumulatiefuncties vaak uitgedrukt in termen van e, de basis van de natuurlijke logaritme. Dit vergemakkelijkt het gebruik van calculus om renteformules te manipuleren.

Voor elke continu differentieerbare accumulatiefunctie a (t) is de kracht van interesse, of meer in het algemeen het logaritmische of continu samengestelde rendement, een functie van de tijd gedefinieerd als volgt:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Dit is de logaritmische afgeleide van de accumulatiefunctie.

Omgekeerd:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (aangezien a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; dit kan worden gezien als een specifiek geval van een productintegraal).

Als de bovenstaande formule is geschreven in differentiaalvergelijkingsindeling, dan is de belangwekkende kracht gewoon de coëfficiënt van hoeveelheid verandering:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Voor samengestelde rente met een constante jaarlijkse rentevoet r, de rentekracht is een constante t, en de accumulatiefunctie van samengestelde rente in termen van rentekracht is een eenvoudige macht van e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ Displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } of a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

De rentekracht is minder dan de jaarlijkse effectieve rente, maar meer dan de jaarlijkse effectieve korting tarief. Het is het omgekeerde van de e-vouwtijd. Zie ook notatie van rentetarieven.

Samengestelde basis Bewerken

Om een rentetarief om te rekenen van de ene samengestelde basis naar een andere samengestelde basis, gebruikt u

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

whereer1 is de rente met samengestelde frequentie n1, andr2 is de rente met samengestelde frequentie n2.

Als de rente continu wordt verhoogd, gebruik dan

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

waarbij δ {\ displaystyle \ delta} het rentetarief op continue samengestelde basis is, andr het vermelde rentetarief is met een samengestelde frequentie n.

Maandelijks afgeschreven lening of hypotheek paymentsEdit

De rente op leningen en hypotheken die worden afgeschreven – dat wil zeggen, een vlotte maandelijkse betaling hebben totdat de lening is afbetaald – wordt vaak maandelijks verrekend. De formule voor betalingen wordt gevonden met het volgende argument.

Exacte formule voor maandelijkse betaling Bewerken

Een exacte formule voor de maandelijkse betaling (c {\ displaystyle c}) is

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

of equivalent

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

waarbij:

c {\ displaystyle c} = maandelijkse betaling P {\ displaystyle P} = hoofdsom r {\ displaystyle r} = maandelijkse rente n {\ displaystyle n} = aantal betalingstermijnen

Dit kan worden afgeleid door na te gaan hoeveel er nog moet worden terugbetaald na elke maand.
De opdrachtgever die overblijft na de eerste maand is

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

dat wil zeggen, de aanvangsbedrag vermeerderd met rente verminderd met de betaling.
Als de hele lening na een maand wordt terugbetaald,

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, dus P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Na de tweede maand blijft P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} over, dus

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Als de hele lening na twee maanden is terugbetaald,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, dus P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

die kan worden herschikt om

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Spreadsheetformule

In spreadsheets is de PMT ( ) functie wordt gebruikt. De syntaxis is:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Zie Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets voor meer details.

Bijvoorbeeld voor rentepercentage van 6% (0,06 / 12), 25 jaar * 12 jaar, PV van $ 150.000, FV van 0, type 0 geeft:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Formule bij benadering voor maandelijkse betaling Bewerken

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

wat suggereert om hulpvariabelen te definiëren

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Hier is c 0 {\ displaystyle c_ {0}} de maandelijkse betaling die nodig is voor een rentevrije lening die wordt afbetaald in n {\ displaystyle n} termijnen. In termen van deze variabelen kan de benadering worden geschreven

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

De functie f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} is even:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

wat impliceert dat het kan worden uitgebreid in even machten van Y {\ displaystyle Y}.

Het zal dan handig zijn om te definiëren

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

zodat

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

die kan worden uitgebreid:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ ca. c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

waarbij de ellipsen termen aangeven die een hogere orde hebben in even machten van X {\ displaystyle X}. De uitbreiding

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ right)}

is geldig tot meer dan 1%, mits X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Voorbeeld van hypotheekbetaling Bewerken

Voor een hypotheek van $ 10.000 met een looptijd van 30 jaar en een biljetrente van 4,5%, jaarlijks te betalen, vinden we:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

wat geeft

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

zodat

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + 0,675 + 0,675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + 0,675 + 0,675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investeren: maandelijkse stortingen / h3>

Gegeven een hoofdsom (eerste) storting en een periodieke storting, kan het totale rendement van een investering worden berekend via de samengestelde rente die per tijdseenheid wordt gewonnen. Indien nodig kan de rente op aanvullende eenmalige en terugkerende stortingen ook binnen dezelfde formule worden gedefinieerd (zie hieronder).

P {\ displaystyle P} = Hoofdstorting r {\ displaystyle r} = Rendement ( maandelijks) M {\ displaystyle M} = maandelijkse aanbetaling, en t {\ displaystyle t} = tijd, in maanden M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Als er twee of meer soorten stortingen voorkomen (zowel terugkerend als niet-terugkerend), verdiende rente kan worden weergegeven als

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} waarbij C en k respectievelijk eenmalige en terugkerende stortingen zijn, en x en y de verschillen in tijd zijn tussen een nieuwe storting en welke variabele dan ook t {\ displaystyle t} is aan het modelleren.