Poisson-verdeling, in statistieken, een verdelingsfunctie die nuttig is voor het karakteriseren van gebeurtenissen met een zeer lage waarschijnlijkheid van optreden binnen een bepaalde tijd of ruimte.
De Franse wiskundige Siméon-Denis Poisson ontwikkelde zijn functie in 1830 om het aantal keren te beschrijven dat een gokker een zelden gewonnen spel van kans in een groot aantal pogingen. Door p de kans op een overwinning bij een bepaalde poging te laten vertegenwoordigen, wordt het gemiddelde of gemiddelde aantal overwinningen (λ) in n pogingen gegeven door λ = np. Met behulp van de binominale verdeling van de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli, toonde Poisson aan dat de kans op het behalen van k-overwinningen ongeveer λk / e − λk !, waarin e de exponentiële functie is en k! = k (k – 1) (k – 2) ⋯ 2 ∙ 1. Opmerkelijk is het feit dat λ gelijk is aan zowel het gemiddelde als de variantie (een maat voor de spreiding van gegevens weg van het gemiddelde) voor de Poisson-verdeling.
De Poisson-verdeling wordt nu erkend als een vitaal belangrijke verdeling in zijn eigen recht. In 1946 publiceerde de Britse statisticus RD Clarke bijvoorbeeld “An Application of the Poisson Distribution”, waarin hij zijn analyse openbaarde van de verdeling van treffers van vliegende bommen (V-1- en V-2-raketten) in Londen tijdens de Tweede Wereldoorlog. Sommige gebieden werden vaker getroffen dan andere. Het Britse leger wilde weten of de Duitsers zich op deze districten richtten (de treffers duiden op een grote technische precisie) of dat de verspreiding te wijten was aan toeval. Of de raketten in feite slechts willekeurig waren gericht ( binnen een algemener gebied), konden de Britten eenvoudig belangrijke installaties verspreiden om de kans dat ze worden geraakt te verkleinen.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Clarke begon met het verdelen van een gebied in duizenden kleine plots van gelijke grootte. Binnen elk van deze gevallen was het onwaarschijnlijk dat er zelfs maar één treffer zou zijn, laat staan meer. Bovendien, in de veronderstelling dat de raketten willekeurig vielen, zou de kans op een treffer in een bepaald perceel constant zijn over alle percelen. Daarom zou het totale aantal treffers veel lijken op het aantal overwinningen bij een groot aantal herhalingen van een kansspel met een zeer kleine kans om te winnen. Dit soort redenering leidde Clarke tot een formele afleiding van de Poisson-verdeling als model. De waargenomen hitfrequenties lagen zeer dicht bij de voorspelde Poisson-frequenties. Daarom meldde Clarke dat de waargenomen variaties uitsluitend door toeval leken te zijn gegenereerd.