Biografie
Srinivasa Ramanujan was een van Indias grootste wiskundige genieën. Hij leverde substantiële bijdragen aan de analytische theorie van getallen en werkte aan elliptische functies , aanhoudende breuken en oneindige reeksen.
Ramanujan werd geboren in het huis van zijn grootmoeder in Erode, een klein dorpje ongeveer 400 km ten zuidwesten van Madras (nu Chennai). Toen Ramanujan een jaar oud was, nam zijn moeder hem mee naar de stad Kumbakonam, ongeveer 160 km dichter bij Madras. Zijn vader werkte in Kumbakonam als klerk in een lakenhandel. In december 1889 kreeg hij pokken.
Toen hij bijna vijf jaar oud was, ging Ramanujan naar de basisschool in Kumbakonam, hoewel hij eerder naar verschillende basisscholen ging. hij ging in januari 1898 naar de Town High School in Kumbakonam. Op de Town High School deed Ramanujan het goed in al zijn schoolvakken en toonde hij zich een bekwame allround geleerde. In 1900 begon hij alleen te werken aan wiskunde, optellen van meetkundig en rekenkundige reeksen.
Ramanujan werd in 1902 getoond hoe kubieke vergelijkingen op te lossen en hij ging op zoek naar zijn eigen methode om de quartica op te lossen. Het jaar daarop, niet wetende dat de kwintiek niet kon worden opgelost door radicalen, probeerde hij (en faalde natuurlijk) om de kwintiek op te lossen.
Het was op de Town High School dat Ramanujan een wiskundeboek tegenkwam van GS Carr genaamd Synopsis van elementaire resultaten in zuivere wiskunde. Dit boek, met zijn zeer beknopte stijl, stond Ra manujan om zichzelf wiskunde te leren, maar de stijl van het boek zou een nogal ongelukkig effect hebben op de manier waarop Ramanujan later wiskunde zou opschrijven, aangezien het het enige model was dat hij had van geschreven wiskundige argumenten. Het boek bevat stellingen, formules en korte bewijzen. Het bevatte ook een index van artikelen over zuivere wiskunde die in de eerste helft van de 19e eeuw in de European Journals of Learned Societies waren gepubliceerd. Het boek, gepubliceerd in 1886, was natuurlijk al behoorlijk verouderd tegen de tijd dat Ramanujan het gebruikte.
In 1904 was Ramanujan begonnen met diepgaand onderzoek. Hij onderzocht de reeks ∑ (1n) \ sum (\ large \ frac {1} {n} \ normalsize) ∑ (n1) en berekende de constante van Euler tot 15 decimalen. Hij begon de Bernoulli-getallen te bestuderen, hoewel dit was geheel zijn eigen onafhankelijke ontdekking.
Ramanujan kreeg, op grond van zijn goede schoolwerk, een studiebeurs voor het Government College in Kumbakonam, waar hij in 1904 aan deelnam. Het jaar daarop werd zijn studiebeurs echter niet verlengd omdat Ramanujan meer wijdde en meer van zijn tijd aan wiskunde en verwaarloosde zijn andere vakken. Zonder geld kwam hij al snel in moeilijkheden en zonder het zijn ouders te vertellen rende hij weg naar de stad Vizagapatnam, ongeveer 650 km ten noorden van Madras. Hij zette zijn wiskundige werk echter voort, en op dat moment werkte hij aan hypergeometrische reeksen en onderzocht hij de relaties tussen integralen en reeksen. Hij zou later ontdekken dat hij elliptische functies had bestudeerd.
In 1906 ging Ramanujan naar Madras, waar hij het College van Pachaiyappa binnenging. Zijn doel was om te slagen voor het examen First Arts waarmee hij zou worden toegelaten tot de Universiteit van Madras. Hij volgde colleges aan het Pachaiyappa s College, maar werd ziek na drie maanden studie. Hij deed het First Arts-examen nadat hij de cursus had verlaten. Hij slaagde voor wiskunde, maar zakte niet voor al zijn andere vakken en dus niet voor het examen. Dit betekende dat hij niet kon gaat naar de Universiteit van Madras. In de daaropvolgende jaren werkte hij aan de wiskunde en ontwikkelde hij zijn eigen ideeën zonder enige hulp en zonder enig echt idee van de dan actuele onderzoeksthemas anders dan die in het boek van Carr.
Voortzetting van zijn wiskundige werk Ramanujan bestudeerde in 1908 kettingbreuken en afwijkende reeksen. In dit stadium werd hij opnieuw ernstig ziek en onderging hij een operatie in april 1909, waarna hij geruime tijd nodig had om te herstellen. Hij trouwde op 14 juli 1909 toen zijn moeder voor hem trouwde met een tienjarig meisje S Janaki Ammal. Ramanujan woonde echter pas bij zijn vrouw toen ze twaalf jaar oud was.
Ramanujan bleef zijn wiskundige ideeën ontwikkelen en begon problemen te stellen en problemen op te lossen in de Journal of the Indian Mathematical Society. Hij ontwikkelde relaties tussen elliptische modulaire vergelijkingen in 1910. Na publicatie van een briljant onderzoeksartikel over Bernoulli-getallen in 1911 in de Journal of the Indian Mathematical Society kreeg hij erkenning voor zijn werk. Ondanks dat hij geen universitaire opleiding had genoten, werd hij in Madras en omgeving bekend als een wiskundig genie.
In 1911 benaderde Ramanujan de oprichter van de Indian Mathematical Society voor advies over een baan. Hierna werd hij aangesteld voor zijn eerste baan, een tijdelijke post op het Accountant Generals Office in Madras. Vervolgens werd hem voorgesteld om Ramachandra Rao te benaderen die een Collector was bij Nellore.Ramachandra Rao was een van de oprichters van de Indian Mathematical Society die had bijgedragen aan het opzetten van de wiskundebibliotheek. Hij schrijft in: –
Een korte, lompe figuur, stevig, ongeschoren, niet al te schoon, met één opvallende kenmerkende ogen – liep naar binnen met een gerafeld notitieboekje onder zijn arm. Hij was ellendig arm. … Hij sloeg zijn boek open en begon enkele van zijn ontdekkingen uit te leggen. Ik zag meteen dat er iets uit de weg lag; maar door mijn kennis kon ik niet beoordelen of hij zin of onzin sprak. … Ik vroeg hem wat hij wilde. Hij zei dat hij een schijntje wilde hebben om van te leven, zodat hij zijn onderzoek kon voortzetten.
Ramachandra Rao zei hem terug te keren naar Madras en hij probeerde tevergeefs een studiebeurs voor Ramanujan te regelen. In 1912 solliciteerde Ramanujan naar de post van griffier in de boekhoudafdeling van de Madras Port Trust. In zijn sollicitatiebrief schreef hij: –
Ik ben geslaagd voor het toelatingsexamen en heb gestudeerd tot de eerste kunsten, maar ik kon mijn studie niet voortzetten vanwege verschillende ongunstige omstandigheden. Ik heb echter al mijn tijd aan wiskunde besteed en het onderwerp ontwikkeld.
Ondanks het feit dat hij geen universitaire opleiding had genoten, was Ramanujan duidelijk goed bekend bij de universitaire wiskundigen in Madras want Ramanujan voegde bij zijn sollicitatiebrief een verwijzing toe van EW Middlemast, hoogleraar wiskunde aan het Presidency College in Madras. Middlemast, afgestudeerd aan St Johns College, Cambridge, schreef: –
Ik kan de kandidaat sterk aanbevelen. Hij is een jonge man met een vrij uitzonderlijke capaciteit in wiskunde en vooral in werk met betrekking tot getallen. Hij heeft een natuurlijke aanleg voor rekenen en is zeer snel in figuurwerk.
Op grond van de aanbeveling werd Ramanujan aangesteld op de post van griffier en begon zijn werkzaamheden op 1 maart 1912. Ramanujan had het geluk dat een aantal mensen om hem heen werkten met een opleiding in wiskunde. De hoofdaccountant van de Madras Port Trust, SN Aiyar, werd zelfs opgeleid als wiskundige en publiceerde een artikel over de distributie van primeurs in 1913 over het werk van Ramanujan. De professor civiele techniek aan het Madras Engineering College CLT Griffith was ook geïnteresseerd in Ramanujans capaciteiten en kende, nadat hij was opgeleid aan University College London, de professor in de wiskunde daar, namelijk MJM Hill. Hij schreef Hill op 12 november 1912 om hem te sturen een deel van Ramanujans werk en een kopie van zijn paper uit 1911 over Bernoulli-nummers.
Hill antwoordde op een vrij bemoedigende manier, maar toonde aan dat hij de resultaten van Ramanujan over uiteenlopende series niet had begrepen. De aanbeveling aan Ramanujan die hij las De Theorie van de oneindige reeks van Bromwich beviel Ramanujan niet erg. Ramanujan schreef aan E W Hobson en H F Baker om hen te interesseren voor zijn resultaten, maar geen van beiden antwoordde. In januari 1913 schreef Ramanujan aan GH Hardy nadat hij een exemplaar had gezien van zijn boek Orders of infinity uit 1910. In Ramanujans brief aan Hardy stelde hij zichzelf en zijn werk voor: –
Ik heb geen universitaire opleiding genoten, maar ik heb de gewone schoolopleiding gevolgd. Na het verlaten van de school heb ik de vrije tijd tot mijn beschikking om aan de wiskunde te werken. Ik heb de conventionele reguliere cursus die wordt gevolgd in een universitaire opleiding niet doorlopen, maar ik ben een nieuwe weg aan het inslaan voor mezelf. Ik heb een speciaal onderzoek gedaan naar uiteenlopende reeksen in het algemeen en de resultaten die ik krijg, worden door de lokale wiskundigen aangeduid als “verrassend”.
Hardy bestudeerde samen met Littlewood de lange lijst van onbewezen stellingen die Ramanujan bij zijn brief voegde. Op 8 februari antwoordde hij aan Ramanujan, de letter die begon met: –
Ik was buitengewoon geïnteresseerd in uw brief en de stellingen die u stelt. U zult dat echter begrijpen voordat ik een goed oordeel kan vellen over de waarde van wat je hebt gedaan, is het essentieel dat Ik zou bewijzen moeten zien van enkele van uw beweringen. Uw resultaten lijken mij grofweg in drie klassen te vallen:
(1) er zijn een aantal resultaten die al bekend zijn, of gemakkelijk kunnen worden afgeleid uit bekende stellingen;
(2) er zijn resultaten die, voor zover Ik weet het, zijn nieuw en interessant, maar eerder interessant vanwege hun nieuwsgierigheid en schijnbare moeilijkheid dan hun belang;
(3) er zijn resultaten die nieuw en belangrijk lijken te zijn …
Ramanujan was in de wolken met Hardys antwoord en toen hij opnieuw schreef zei hij: –
Ik heb een vriend in je gevonden die mijn werk met sympathie bekijkt. … dat ben ik al een half uitgehongerde man. Om mijn hersens te behouden wil ik eten en dit is mijn eerste overweging. Elke sympathieke brief van u zal mij hier van dienst zijn om een studiebeurs te krijgen van de universiteit of van de overheid.
De Universiteit van Madras gaf Ramanujan inderdaad in mei 1913 een studiebeurs voor twee jaar en in 1914 bracht Hardy Ramanujan naar het Trinity College in Cambridge om een buitengewone samenwerking te beginnen. Dit opzetten was niet eenvoudig. Ramanujan was een orthodoxe brahmaan en dus ook een strikte vegetariër. Zijn religie had hem ervan moeten weerhouden te reizen, maar deze moeilijkheid werd overwonnen, gedeeltelijk door het werk van EH Neville, die een collega was van Hardys aan het Trinity College en die Ramanujan ontmoette terwijl hij les gaf in India.
Ramanujan zeilde vanuit India op 17 maart 1914. Het was een rustige reis, behalve drie dagen waarop Ramanujan zeeziek was. Hij arriveerde in Londen op 14 april 1914 en werd opgewacht door Neville. Na vier dagen in Londen gingen ze naar Cambridge en Ramanujan bracht een paar weken door in Nevilles huis voordat hij op 30 april naar kamers in Trinity College verhuisde. Vanaf het begin had hij echter problemen met zijn dieet. Het uitbreken van de Eerste Wereldoorlog maakte het moeilijker om speciale etenswaren te verkrijgen en het duurde niet lang voordat Ramanujan gezondheidsproblemen kreeg.
Vanaf het begin leidde de samenwerking van Ramanujan met Hardy tot belangrijke resultaten. Hardy wist echter niet goed hoe hij dat moest doen. benader het probleem van Ramanujans gebrek aan formeel onderwijs. Hij schreef: –
Wat moest er gebeuren om hem moderne wiskunde te leren? De beperkingen van zijn kennis waren even verrassend als de diepgang ervan.
Littlewood werd gevraagd om Ramanujan rigoureuze wiskundige methoden te leren. Hij zei echter (): –
… dat het buitengewoon moeilijk was omdat elke keer dat er iets werd genoemd, waarvan men dacht dat Ramanujan het moest weten, het antwoord van Ramanujan was een lawine van originele ideeën die het voor Littlewood bijna onmogelijk maakte om vast te houden aan zijn oorspronkelijke bedoeling.
De oorlog nam Littlewood al snel weg tijdens zijn oorlogsdienst, maar Hardy bleef in Cambridge om met Ramanujan te werken Zelfs in zijn eerste winter in Engeland was Ramanujan ziek en hij schreef in maart 1915 dat hij ziek was geweest door het winterweer en vijf maanden niets had kunnen publiceren. Wat hij wel publiceerde was het werk dat hij deed in Engeland, nadat het besluit was genomen dat de resultaten die hij had behaald terwijl hij in India was, waarvan hij er vele in zijn brieven aan Hardy had meegedeeld, pas zouden worden gepubliceerd als de oorlog was afgelopen.
Op 16 maart 1916 studeerde Ramanujan af aan Cambridge met een Bachelor of Arts by Research (de graad heette een Ph.D. f vanaf 1920). Hij had zich in juni 1914 mogen inschrijven, ondanks dat hij niet over de juiste kwalificaties beschikte. Het proefschrift van Ramanujan ging over zeer samengestelde getallen en bestond uit zeven van zijn artikelen die in Engeland werden gepubliceerd.
Ramanujan werd ernstig ziek in 1917 en zijn doktoren vreesden dat hij zou sterven. Tegen september verbeterde hij een beetje, maar bracht het grootste deel van tijd in verschillende verpleeghuizen. In februari 1918 schreef Hardy (zie): –
Batty Shaw ontdekte, wat andere doktoren niet wisten, dat hij ongeveer vier jaar geleden een operatie had ondergaan . Zijn ergste theorie was dat dit echt was voor het verwijderen van een kwaadaardige gezwellen, verkeerd gediagnosticeerd. Gezien het feit dat Ramanujan niet slechter is dan zes maanden geleden, heeft hij deze theorie nu verlaten – de andere doktoren gaven er nooit iets aan. Tuberculum is de voorlopig aanvaarde theorie, afgezien hiervan, sinds het oorspronkelijke idee van een maagzweer werd opgegeven … Zoals alle Indianen is hij fatalistisch, en het is vreselijk moeilijk om hem voor zichzelf te laten zorgen. div id = “26083ad0ac”> Op 18 februari 1918 was Ramanujan verkozen tot een fellow van de Cambridge Philosophical Society en drie dagen later, de grootste eer die hij zou ontvangen, verscheen zijn naam op de lijst voor verkiezing als fellow van de Royal Society of London. Hij was voorgesteld door een indrukwekkende lijst van wiskundigen, namelijk Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth en Whitehead. Zijn verkiezing tot fellow van de Royal Society werd bevestigd op 2 mei 1918, waarna hij op 10 oktober 1918 werd verkozen tot Fellow van Trinity College Cambridge, de fellowship voor zes jaar.
De eer die aan Ramanujan werd toegekend leek om zijn gezondheid een beetje te verbeteren en hij hernieuwde zijn inspanningen om wiskunde te produceren. Eind november 1918 was de gezondheid van Ramanujan sterk verbeterd. Hardy schreef in een brief: –Ik denk dat we nu mogen hopen dat hij de hoek om is gedraaid en op de weg naar een echt herstel. Zijn temperatuur is niet langer onregelmatig, en hij is bijna een steen in gewicht toegenomen … Er is nooit enig teken geweest van een afname van zijn buitengewone wiskundige talenten. Hij heeft van nature minder geproduceerd tijdens zijn ziekte, maar de kwaliteit is hetzelfde …
Hij zal naar India terugkeren met een wetenschappelijke reputatie en reputatie zoals geen enkele Indiaan eerder heeft genoten, en ik ben ervan overtuigd dat India hem zal beschouwen als de schat die hij is. Zijn natuurlijke eenvoud en bescheidenheid zijn nooit in het minst beïnvloed door succes. Het enige dat we willen, is hem laten beseffen dat hij echt een succes is.Ramanujan zeilde naar India met 27 februari 1919 aankomst op 13 maart. Zijn gezondheid was echter zeer slecht en ondanks medische behandeling stierf hij daar het jaar daarop.
De brieven die Ramanujan in 1913 aan Hardy schreef, hadden veel fascinerende resultaten opgeleverd. Ramanujan werkte de Riemann-reeks, de elliptische integralen, hypergeometrische reeksen en functionele vergelijkingen van de zetafunctie uit. Aan de andere kant had hij slechts een vaag idee van wat een wiskundig bewijs is. Ondanks vele schitterende resultaten waren sommige van zijn stellingen over priemgetallen helemaal verkeerd.
Ramanujan ontdekte onafhankelijk de resultaten van Gauss, Kummer en anderen over hypergeometrische reeksen. Ramanujans eigen werk aan deelsommen en producten van hypergeometrische reeksen hebben geleid tot een grote ontwikkeling in het onderwerp. Misschien was zijn bekendste werk over het aantal p (n) van partities van een geheel getal nnn in sommandia. MacMahon had tabellen van de waarde van p (n) p (n) p (n) voor kleine getallen nnn, en Ramanujan gebruikte deze numerieke gegevens om enkele opmerkelijke eigenschappen te vermoeden, waarvan hij bewees dat hij elliptische functies gebruikte. Andere werden pas bewezen na de dood van Ramanujan.
In een gezamenlijke paper met Hardy gaf Ramanujan een asymptotische formule voor p (n) p (n) p (n). Het had de opmerkelijke eigenschap dat het de juiste waarde van p (n) p (n) p (n) bleek te geven, en dit werd later bewezen door Rademacher.
Ramanujan liet een aantal niet-gepubliceerde notitieboekjes achter vol met stellingen die wiskundigen zijn blijven studeren. GN Watson, hoogleraar zuivere wiskunde met Mason in Birmingham van 1918 tot 1951 publiceerde 14 artikelen onder de algemene titel Theorems vermeld door Ramanujan en in totaal publiceerde hij bijna 30 artikelen die waren geïnspireerd door het werk van Ramanujan. Hardy gaf het grote aantal door aan Watson. van manuscripten van Ramanujan die hij had, beide geschreven vóór 1914 en enkele geschreven in Ramanujan s vorig jaar in India voor zijn dood.
De foto hierboven is afkomstig van een postzegel uitgegeven door het Indiase postkantoor om de 75e verjaardag van zijn geboorte.