De exponentiële distributie is een van de meest gebruikte continue distributies. Het wordt vaak gebruikt om de tijd tussen gebeurtenissen te modelleren. We zullen nu de exponentiële verdeling wiskundig definiëren en de gemiddelde en verwachte waarde ervan afleiden. Vervolgens zullen we de intuïtie voor de distributie ontwikkelen en verschillende interessante eigenschappen bespreken die deze heeft.

Figuur 4.5 toont de PDF van exponentiële distributie voor verschillende waarden van $ \ lambda $.

Let $ X \ sim Exponentieel (\ lambda) $. We kunnen de verwachte waarde als volgt vinden, door middel van integratie in delen:

Laten we nu Var $ (X) $ zoeken. We hebben

Dus, we krijgen $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Een interessante eigenschap van de exponentiële verdeling is dat deze kan worden gezien als een continue analoge van de geometrische verdeling. Om dit te zien, herinner je het willekeurige experiment achter de geometrische verdeling: je gooit een munt (herhaal een Bernoulli-experiment) totdat je de eerste koppen ziet (succes). Stel nu dat de toss $ \ Delta $ seconden uit elkaar en bij elke worp is de kans op succes $ p = \ Delta \ lambda $. Stel ook dat $ \ Delta $ erg klein is, dus de tosses zijn erg dicht bij elkaar in de tijd en de kans op succes bij elke proef is erg laag Laat $ X $ de tijd zijn waarop je de spar observeert st succes. We zullen in de sectie Opgeloste problemen laten zien dat de verdeling van $ X $ convergeert naar $ Exponential (\ lambda) $ als $ \ Delta $ nul nadert.

Om enige intuïtie te krijgen voor deze interpretatie van de exponentiële verdeling , stel dat u wacht op een gebeurtenis. U bent bijvoorbeeld in een winkel en wacht op de volgende klant. In elke milliseconde is de kans dat een nieuwe klant de winkel binnenkomt erg klein. Je kunt je voorstellen dat er in elke milliseconde een muntstuk (met een hele kleine $ P (H) $) wordt gegooid, en als het landt, komt er een nieuwe klant binnen. Als je elke milliseconde een munt opgooit, volgt de tijd totdat een nieuwe klant arriveert ongeveer een exponentiële verdeling.

De bovenstaande interpretatie van het exponentiële is nuttig om de eigenschappen van de exponentiële verdeling beter te begrijpen. De belangrijkste van deze eigenschappen is dat de exponentiële verdeling geheugenloos is. Om dit te zien, moet je denken aan een exponentiële willekeurige variabele in de zin van veel munten gooien totdat je de eerste koppen observeert. Als we de munt meerdere keren gooien en geen kop zien, is het vanaf nu alsof we helemaal opnieuw beginnen. Met andere woorden, de mislukte tosses hebben vanaf nu geen invloed op de verdeling van de wachttijd. De reden hiervoor is dat de tosses onafhankelijk zijn. We kunnen dit formeel als volgt zeggen: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Vanuit het oogpunt van wachttijd tot aankomst van een klant betekent de geheugenloze eigenschap dat het niet uitmaakt hoe lang je hebt gewacht dusver. Als u een klant pas op tijd $ a $ hebt geobserveerd, is de verdeling van de wachttijd (vanaf tijd $ a $) tot de volgende klant hetzelfde als toen u begon op tijdstip nul. Laten we de geheugenloze eigenschap van de exponentiële distributie bewijzen. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}