Terwijl verticale asymptoten het gedrag van een grafiek beschrijven als de uitvoer erg groot of erg klein wordt, helpen horizontale asymptoten het gedrag van een graaf te beschrijven als de invoer erg groot of erg wordt klein. Bedenk dat het eindgedrag van een polynoom dat van de leidende term zal weerspiegelen. Evenzo zal het eindgedrag van een rationele functie dat van de verhouding tussen de leidende termen van de teller- en noemerfuncties weerspiegelen.
Er zijn drie verschillende uitkomsten bij het controleren op horizontale asymptoten:
Geval 1: Als de graad van de noemer > graad van de teller, is er een horizontale asymptoot op y = 0.
Geval 2: Als de graad van de noemer < graad van de teller één is, krijgen we een schuine asymptoot.
Merk op dat, hoewel de grafiek van een rationale functie nooit een verticale asymptoot zal kruisen, de grafiek kan al dan niet een horizontale of schuine asymptoot. Ook, hoewel de grafiek van een rationale functie veel verticale asymptoten kan hebben, zal de grafiek maximaal één horizontale (of schuine) asymptoot hebben.
Opgemerkt moet worden dat, als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer met meer dan één, zal het eindgedrag van de grafiek het gedrag van het gereduceerde eindgedrag \ fractie nabootsen. Als we bijvoorbeeld de functie
met eindgedrag
het eindgedrag van de grafiek lijkt op dat van een even polynoom met een positieve leidende coëfficiënt.
Een algemene opmerking: horizontale asymptoten van Rationale functies
De horizontale asymptoot van een rationale functie kan worden bepaald door te kijken naar de graden van de teller en de noemer.
- De graad van de teller is kleiner dan de graad van de noemer: horizontale asymptoot op y = 0.
- Mate van teller is één groter dan graad van noemer: geen horizontale asymptoot; schuine asymptoot.
- Mate van teller is gelijk aan graad van noemer: horizontale asymptoot bij verhouding van leidende coëfficiënten.
Een algemene opmerking: Onderscheppingen van rationele functies
Een rationele functie heeft een y-snijpunt als de invoer nul is, als de functie op nul is gedefinieerd. Een rationele functie zal geen y-snijpunt hebben als de functie niet op nul is gedefinieerd.
Evenzo zal een rationale functie x-onderscheppingen hebben bij de ingangen die ervoor zorgen dat de uitvoer nul is. Omdat een \ breuk alleen gelijk is aan nul als de teller nul is, kunnen x-intercepts alleen voorkomen als de teller van de rationale functie gelijk is aan nul.
Probeer het 7
Gegeven de reciproque gekwadrateerde functie die 3 eenheden naar rechts en 4 eenheden omlaag is verschoven, schrijf dit dan als een rationele functie. Zoek vervolgens de x– en y-intercepts en de horizontale en verticale asymptoten.
Oplossing