Zijn werken
Er zijn negen bestaande verhandelingen van Archimedes in het Grieks. De belangrijkste resultaten in Op de bol en de cilinder (in twee boeken) zijn dat het oppervlak van elke bol met straal r vier keer zo groot is als de grootste cirkel (in moderne notatie S = 4πr2) en dat het volume van een bol is tweederde van die van de cilinder waarin het is ingeschreven (wat onmiddellijk leidt tot de formule voor het volume, V = 4 / 3πr3). Archimedes was trots genoeg op de laatste ontdekking om instructies achter te laten om zijn graf te markeren met een bol die in een cilinder is gegraveerd. Marcus Tullius Cicero (106–43 vce) vond het graf, overwoekerd met vegetatie, anderhalve eeuw na de dood van Archimedes.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Measurement of the Circle is een fragment van een langer werk waarin π (pi), de verhouding van de omtrek tot de diameter van een cirkel, blijkt tussen de limieten van 3 10/71 en 3 1/7 te liggen. Archimedes benadering van het bepalen van π, die bestaat uit het beschrijven en omschrijven van regelmatige polygonen met een groot aantal zijden, werd door iedereen gevolgd tot de ontwikkeling van oneindige reeksuitbreidingen in India in de 15e eeuw en in Europa in de 17e eeuw. Dat werk bevat ook nauwkeurige benaderingen (uitgedrukt als verhoudingen van gehele getallen) tot de vierkantswortels van 3 en verschillende grote getallen.
On Conoids en Spheroids gaat over het bepalen van de volumes van de segmenten van vaste stoffen gevormd door de omwenteling van een kegelsnede (cirkel, ellips, parabool of hyperbool) om zijn as. In moderne termen zijn dat integratieproblemen. (Zie calculus.) On Spirals ontwikkelt veel eigenschappen van raaklijnen aan, en gebieden die verband houden met, de spiraal van Archimedes – dat wil zeggen, de meetkundige plaats van een punt beweegt met uniforme snelheid langs een rechte lijn die zelf met uniforme snelheid rond een vast punt draait . Het was een van de weinige bochten voorbij de rechte lijn en de kegelsneden die in de oudheid bekend waren.
On the Equilibrium of Planes (of Centers of Gravity of Planes; in twee boeken) houdt zich voornamelijk bezig met het vaststellen van de zwaartepunten van verschillende rechtlijnige vlakke figuren en segmenten van de parabool en de paraboloïde. Het eerste boek beweert de “wet van de hefboom” vast te stellen (balans van magnitudes op afstanden van het draaipunt in omgekeerde verhouding tot hun gewicht), en het is voornamelijk op basis van die verhandeling dat Archimedes de grondlegger van de theoretische mechanica wordt genoemd. Veel van dat boek is echter ongetwijfeld niet authentiek, aangezien het bestaat uit onbeholpen latere toevoegingen of herwerkingen, en het lijkt waarschijnlijk dat het basisprincipe van de wet van de hefboom en – mogelijk – het concept van het zwaartepunt werden vastgesteld. op een wiskundige basis door geleerden eerder dan Archimedes. Zijn bijdrage was eerder om die concepten uit te breiden tot kegelsneden.
Kwadratuur van de parabool demonstreert eerst met mechanische middelen (zoals in de methode, hieronder besproken) en vervolgens volgens conventionele geometrische methoden, dat het oppervlak van een willekeurig segment van een parabool 4/3 is van het gebied van de driehoek met dezelfde basis en hoogte als dat segment. Dat is wederom een probleem bij integratie.
The Sand-Reckoner is een kleine verhandeling die een jeu desprit is, geschreven voor de leek – gericht aan Gelon, zoon van Hieron – die niettemin enkele diep originele wiskunde. Het doel is om de tekortkomingen van het Griekse numerieke notatiesysteem te verhelpen door te laten zien hoe een groot aantal kan worden uitgedrukt – het aantal zandkorrels dat nodig zou zijn om het hele universum te vullen. Wat Archimedes in feite doet, is een plaatswaardesysteem van notatie creëren met een basis van 100.000.000. (Dat was blijkbaar een volkomen origineel idee, aangezien hij geen kennis had van het hedendaagse Babylonische plaatswaardesysteem met basis 60.) Het werk is ook interessant omdat het de meest gedetailleerde overgebleven beschrijving geeft van het heliocentrische systeem van Aristarchus van Samos ( c. 310-230 vce) en omdat het een verslag bevat van een ingenieuze procedure die Archimedes gebruikte om de schijnbare diameter van de zon te bepalen door observatie met een instrument.
Methode betreffende mechanische stellingen beschrijft een ontdekkingsproces in de wiskunde . Het is het enige overgebleven werk uit de oudheid, en een van de weinige uit welke periode dan ook, dat over dit onderwerp gaat.Daarin vertelt Archimedes hoe hij een mechanische methode gebruikte om tot enkele van zijn belangrijkste ontdekkingen te komen, waaronder de oppervlakte van een parabolisch segment en de oppervlakte en het volume van een bol. De techniek bestaat uit het opdelen van elk van twee figuren in een oneindige maar een gelijk aantal oneindig dunne stroken, en vervolgens elk corresponderend paar van deze stroken tegen elkaar “wegen” op een denkbeeldige weegschaal om de verhouding van de twee oorspronkelijke figuren te verkrijgen. Archimedes benadrukt dat deze procedure, hoewel nuttig als heuristische methode, geen rigoureus bewijs vormt.
On Floating Bodies (in twee boeken) bestaat slechts gedeeltelijk in het Grieks, de rest in middeleeuwse Latijnse vertaling uit het Grieks . Het is het eerste bekende werk over hydrostatica, waarvan Archimedes wordt erkend als de grondlegger. Het doel is om de posities te bepalen die verschillende vaste stoffen zullen innemen wanneer ze in een vloeistof drijven, afhankelijk van hun vorm en de variatie in hun soortelijk gewicht. In het eerste boek worden verschillende algemene principes vastgelegd, met name wat bekend is geworden als het principe van Archimedes: een vaste stof die dichter is dan een vloeistof zal, wanneer hij in die vloeistof wordt ondergedompeld, lichter zijn door het gewicht van de vloeistof die het verplaatst. Het tweede boek is een wiskundig hoogstandje, ongeëvenaard in de oudheid en sindsdien zelden geëvenaard. Daarin bepaalt Archimedes de verschillende stabiliteitsposities die een rechter omwentelingsparaboloïde aanneemt wanneer hij drijft in een vloeistof met een groter soortelijk gewicht, volgens geometrische en hydrostatische variaties.
Archimedes is bekend, uit referenties van latere auteurs, een aantal andere werken hebben geschreven die niet bewaard zijn gebleven. Van bijzonder belang zijn verhandelingen over catoptrica, waarin hij onder meer het fenomeen refractie besprak; op de 13 halfregelmatige (Archimedische) veelvlakken (die lichamen die worden begrensd door regelmatige veelhoeken, niet noodzakelijk allemaal van hetzelfde type, die in een bol kunnen worden ingeschreven); en het “veevraagstuk” (bewaard in een Grieks epigram), dat een probleem vormt bij onbepaalde analyse, met acht onbekenden. Daarnaast zijn er verschillende werken in Arabische vertaling bewaard gebleven, toegeschreven aan Archimedes, die niet door hem kunnen zijn gecomponeerd in hun huidige vorm, hoewel ze “archimedische” elementen kunnen bevatten. Die omvatten een werk over het schrijven van de regelmatige zevenhoek in een cirkel; een verzameling lemmas (veronderstelde proposities die worden gebruikt om een stelling te bewijzen) en een boek, On Touching Circles, die beide te maken hebben met elementaire vlakke meetkunde; en de maag (waarvan delen ook in het Grieks overblijven), die te maken hebben met een vierkant dat in 14 stukken is verdeeld voor een spel of puzzel.
De wiskundige bewijzen en presentatie van Archimedes tonen grote durf en originaliteit van het denken hand en extreme nauwkeurigheid anderzijds, die voldoen aan de hoogste normen van de hedendaagse geometrie. Hoewel de Methode laat zien dat hij tot de formules voor de oppervlakte en het volume van een bol kwam door mechanisch redeneren met oneindig kleine getallen, gebruikt hij in zijn feitelijke bewijzen van de resultaten in Sphere and Cylinder alleen de rigoureuze methoden van opeenvolgende eindige benadering die hadden is uitgevonden door Eudoxus van Cnidus in de 4e eeuw vce. Deze methoden, waarvan Archimedes een meester was, zijn de standaardprocedure in al zijn werken over hogere geometrie die te maken hebben met het aantonen van resultaten over gebieden en volumes. Hun wiskundige nauwkeurigheid staat in sterk contrast naar de bewijzen van de eerste beoefenaars van integraalrekening in de 17e eeuw, toen infinitesimalen opnieuw in de wiskunde werden geïntroduceerd. Toch zijn de resultaten van Archimedes niet minder indrukwekkend dan die van hen. Dezelfde vrijheid van conventionele manieren van denken is duidelijk in het rekenkundig veld in Sand-Reckoner, die een diep begrip toont van de aard van het numerieke systeem.
In de oudheid stond Archimedes ook bekend als een uitstekende astronoom: zijn observaties van zonnewendes werden gebruikt door Hipparchus (bloeide ca. 140 vce), de belangrijkste astronoom uit de oudheid. Er is zeer weinig bekend over deze kant van Archimedes activiteit, hoewel Sand-Reckoner zijn grote astronomische interesse en praktisch observatievermogen onthult. Er is echter een reeks getallen overgeleverd die aan hem zijn toegeschreven en die de afstanden van de verschillende hemellichamen tot de aarde aangeven, waarvan is aangetoond dat deze niet is gebaseerd op waargenomen astronomische gegevens, maar op een Pythagoras-theorie die de ruimtelijke intervallen tussen de planeten met muzikale intervallen. Hoewel het verrassend is om die metafysische speculaties te vinden in het werk van een praktiserend astronoom, is er goede reden om aan te nemen dat hun toeschrijving aan Archimedes correct is.