Nøkkelbegreper
Matematikk
Sannsynlighet
Statistikk
Innledning
Har du noen gang lagt merke til hvordan noen ganger det som virker logisk, viser seg å være falskt med litt matte? For eksempel, hvor mange tror du det vil ta å undersøke i gjennomsnitt å finne to personer som har samme bursdag? På grunn av sannsynlighet er det noen ganger mer sannsynlig at en hendelse vil inntreffe enn vi tror det. I dette tilfellet, hvis du undersøker en tilfeldig gruppe på bare 23 personer, er det faktisk omtrent 50–50 sjanse for at to av dem har samme bursdag. Dette er kjent som bursdagsparadokset. Tror du ikke det er sant? Du kan teste det og se matematisk sannsynlighet i aksjon!
Bakgrunn
Bursdagsparadokset, også kjent som bursdagsproblemet, sier at i en tilfeldig gruppe på 23 personer er det omtrent 50 prosent sjanse at to personer har samme bursdag. Er dette virkelig sant? Det er flere grunner til at dette virker som et paradoks. Den ene er at når en person sammenligner bursdagen sin med bursdagene til de andre menneskene, ville det bare være 22 sammenligninger når de er i et rom med 22 andre mennesker, bare 22 muligheter for folk å dele samme bursdag.
Men når alle 23 bursdagene blir sammenlignet med hverandre, gir det mye mer enn 22 sammenligninger. Hvor mye mer? Vel, den første personen har 22 sammenligninger å gjøre, men den andre personen ble allerede sammenlignet med den første personen, så det er bare 21 sammenligninger å gjøre. Den tredje personen har da 20 sammenligninger, den fjerde personen har 19 og så videre. Hvis du legger til alle mulige sammenligninger (22 + 21 + 20 + 19 + … +1) er summen 253 sammenligninger, eller kombinasjoner. Derfor involverer hver gruppe på 23 personer 253 sammenligninger, eller 253 sjanser for å matche bursdager.
Materiale
• Grupper på 23 eller flere personer (10 til 12 slike grupper) eller en kilde med tilfeldige fødselsdager (se Forberedelse nedenfor for tips)
• Papir og penn eller blyant
• Kalkulator (valgfritt)
Forberedelse
• Samle fødselsdager for tilfeldige grupper på 23 eller flere personer. Ideelt sett bør du få 10 til 12 grupper på 23 eller flere personer, slik at du har nok forskjellige grupper å sammenligne. (Du trenger ikke året for bursdager, bare måned og dag.)
• Tips: Her er noen måter du kan finne et antall tilfeldig grupperte personer på: Be skolelærere sende en liste rundt hver av klassene sine for å samle bursdager for studenter i klassen (de fleste skolene har rundt 25 elever i en klasse); bruk bursdager til spillere på major league baseballlag (denne informasjonen finner du enkelt på Internett); eller bruk bursdager av andre tilfeldige personer som bruker online kilder.
Fremgangsmåte
• For hver gruppe på 23 eller flere bursdager du har samlet, kan du sortere gjennom dem for å se om det er bursdagskamper i hver gruppe.
• Hvor mange av gruppene dine har to eller flere personer med samme bursdag? Basert på bursdagsparadokset, hvor mange grupper forventer du å finne som har to personer med samme bursdag? Går bursdagsparadokset sant?
• Ekstra: I dette aktivitet brukte du en gruppe på 23 eller flere personer, men du kan prøve den med større grupper. Hvis du bruk en gruppe på 366 personer – det største antallet dager i året kan ha – oddsen for at to personer har samme bursdag er 100 prosent (unntatt 29. februar skuddårsbursdager), men hva tror du oddsen er i en gruppe på 60 eller 75 personer?
• Ekstra: Terningkast er en fin måte å undersøke sannsynligheten på. Du kan prøve å kaste tre 10-sidige terninger og fem seks-sidige terninger 100 ganger hver og registrere resultatene av hver kast. Beregn den matematiske sannsynligheten for å få en sum høyere enn 18 for hver terningkombinasjon når du kaster dem 100 ganger. (Dette nettstedet kan lære deg hvordan du beregner sannsynlighet: Sannsynlighet sentralt fra Oracle ThinkQuest.) Hvilken kombinasjon har høyere matematisk sannsynlighet, og var dette sant når du rullet dem?
Observasjoner og resultater
Gjorde omtrent 50 prosent av gruppene på 23 eller flere personer inkluderer minst to personer med samme fødselsdag?
Når man sammenligner sannsynligheter med fødselsdager, kan det være lettere å se på sannsynligheten for at folk ikke deler bursdag. En persons bursdag er en av 365 muligheter (unntatt 29. februar bursdager). Sannsynligheten for at en person ikke har samme bursdag som en annen person er 364 delt på 365 fordi det er 364 dager som ikke er en persons bursdag. . Dette betyr at to personer har 364/365, eller 99,726027 prosent, sjansen for ikke å matche bursdager.
Som nevnt før, i en gruppe på 23 personer, er det 253 sammenligninger eller kombinasjoner som kan bli laget. Så vi ser ikke bare på en sammenligning, men på 253 sammenligninger. Hver av de 253 kombinasjonene har de samme oddsene, 99,726027 prosent, for ikke å være en kamp. Hvis du multipliserer 99,726027 prosent med 99.726027 253 ganger, eller beregne (364/365) 253, vil du finne at det er en sjanse på 49,952 prosent at alle 253 sammenligningene ikke inneholder noen treff. Derfor er oddsen for at det er en bursdagskamp i de 253 sammenligningene 1 – 49,952 prosent = 50,048 prosent, eller litt over halvparten! Jo flere forsøk du kjører, jo nærmere bør den faktiske sannsynligheten nærme seg 50 prosent.
Mer å utforske
«Forstå bursdagsparadokset» fra BetterExplained
«Probability Central» fra Oracle ThinkQuest
«Kombinasjoner og permutasjoner» fra MathIsFun og «The Birthday Paradox» fra Science Buddies
Denne aktiviteten brakte deg i samarbeid med Science Buddies