Sammensatt rente

Periodisk sammensettingEdit

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P «= P \ venstre (1 + {\ frac {r} {n}} \ høyre) ^ {nt}}

der:

P er den opprinnelige hovedsummen P» er den nye prinsipalsummen r er den nominelle årlige renten n er sammensettingsfrekvensen t er den totale tiden renten påføres (uttrykt med samme tidsenheter som r, vanligvis år).

Den totale rente som genereres er den endelige verdien minus den opprinnelige hovedstolen:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ høyre) ^ {nt} -P}

Eksempel 1Rediger

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P «= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Så den nye rektor P {\ displaystyle P «} etter 6 år er omtrent $ 1 938,84.

Når du trekker den opprinnelige hovedstolen fra dette beløpet, får du mottatt interesse:

1 938,84 – 1500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

Eksempel 2Rediger

P ′ = 1500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P «= 1 \, 500 \ ganger \ igjen (1+ ( 0,043 \ ganger 2) \ høyre) ^ {\ frac {6} {2}} \ ca 1 \, 921,24}

Balansen etter 6 år er omtrent $ 1 921,24.

Mengden av mottatt rente kan beregnes ved å trekke hovedstolen fra dette beløpet.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Interessen er mindre sammenlignet med forrige tilfelle, som et resultat av den lavere blandingsfrekvensen.

Akkumuleringsfunksjon Rediger

Siden hovedstolen P bare er en koeffisient, det tappes ofte for enkelhets skyld, og den resulterende akkumuleringsfunksjonen brukes i stedet. Akkumuleringsfunksjonen viser hva $ 1 vokser til etter lengre tid.

Akkumuleringsfunksjoner for enkel og sammensatt rente er

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Hvis nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, så er disse to funksjonene de samme.

Kontinuerlig sammensettingEdit

Som n , antall sammensettingsperioder per år, øker uten grense, saken er kjent som kontinuerlig sammensetting, i hvilket tilfelle den effektive årlige raten nærmer seg en øvre grense på er – 1, der e er en matematisk konstant som er basen til det naturlige logaritme.

Kontinuerlig sammensetting kan tenkes å gjøre sammensettingsperioden uendelig liten, oppnådd ved å ta grensen når n går til uendelig. Se definisjoner av den eksponensielle funksjonen for det matematiske beviset på denne grensen. Mengden etter t perioder med kontinuerlig blanding kan uttrykkes som den opprinnelige mengden P0 som

P (t) = P0 e rt. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force of interestEdit

Når antall sammensatte perioder n {\ displaystyle n} når uendelig i kontinuerlig sammensetting, den kontinuerlige sammensatte renten blir referert til som styrken av interesse δ {\ displaystyle \ delta}.

I matematikk uttrykkes akkumuleringsfunksjonene ofte i form av e, basen til den naturlige logaritmen. Dette letter bruken av kalkulator for å manipulere renteformler.

For enhver kontinuerlig differensierbar akkumuleringsfunksjon er a (t), interesse av interesse, eller mer generelt, den logaritmiske eller kontinuerlig sammensatte retur en funksjon av tid definert som følger:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a «(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Dette er den logaritmiske avledningen av akkumuleringsfunksjonen.

Omvendt:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (siden a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; dette kan sees på som et bestemt tilfelle av et produktintegral).

Når formelen ovenfor er skrevet i differensiallikningsformat, er interesse av kraft bare koeffisienten til mengde endring:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

For sammensatt rente med en konstant årlig rente r, rentekraften er en konstant t, og akkumuleringsfunksjonen av sammensatt interesse når det gjelder interesse av kraft er en enkel kraft av e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } eller a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

Rentekraften er mindre enn den årlige effektive renten, men mer enn den årlige effektive rabatten vurdere. Det er gjensidig av e-foldingstiden. Se også rentenotering.

Compounding basisEdit

For å konvertere en rentesats fra en sammensatt basis til en annen sammensatt basis, bruk

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

wherer1 er renten med sammensatt frekvens n1, andr2 er renten med sammensatt frekvens n2.

Når interessen kontinuerlig er sammensatt, bruk

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ høyre)},}

der δ {\ displaystyle \ delta} er renten på kontinuerlig sammensatt basis, ogr er den oppgitte renten med en sammensatt frekvens n.

Månedlig amortisert lån eller pant paymentsEdit

Renten på lån og pantelån som amortiseres – det vil si å ha en jevn månedlig betaling til lånet er nedbetalt – blir ofte sammensatt hver måned. Formelen for betalinger finner du fra følgende argument.

Nøyaktig formel for månedlig betaling Rediger

En nøyaktig formel for månedlig betaling (c {\ displaystyle c}) er

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}

eller tilsvarende

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

hvor:

c {\ displaystyle c} = månedlig betaling P {\ displaystyle P} = hovedstol r {\ displaystyle r} = månedlig rente n {\ displaystyle n} = antall betalingsperioder

Dette kan utledes ved å vurdere hvor mye som gjenstår å betale tilbake etter hver måned.
Rektoren som gjenstår etter den første måneden er

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

det vil si startbeløp pluss renter minus betaling.
Hvis hele lånet blir tilbakebetalt etter en måned, da

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, så P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Etter den andre måneden er P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} igjen, så

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Hvis hele lånet ble betalt tilbake etter to måneder,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, så P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

som kan omorganiseres for å gi

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Regnearkformel

I regneark er PMT ( ) -funksjonen brukes. Syntaksen er:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Se Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets for mer informasjon.

For eksempel for rente på 6% (0,06 / 12), 25 år * 12 pa, PV på $ 150 000, FV på 0, type 0 gir:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Omtrentlig formel for månedlig betaling Rediger

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

som antyder å definere hjelpevariabler

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Her er c 0 {\ displaystyle c_ {0}} den månedlige betalingen som kreves for et nullrentelån betalt i n {\ displaystyle n} avdrag. Når det gjelder disse variablene, kan tilnærmingen skrives

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Funksjonen f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} er jevn:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

antyder at den kan utvides i jevne krefter av Y {\ displaystyle Y}.

Det vil vise seg å være praktisk å definere

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

slik at

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

som kan utvides:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ høyre)}

der ellipsene indikerer termer som er høyere orden i jevne krefter av X {\ displaystyle X}. Utvidelsen

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ høyre)}

er gyldig til bedre enn 1% forutsatt X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Eksempel på betaling av pantelån Rediger

For et pantelån på $ 10.000 med et løpetid på 30 år og en noteringsrate på 4,5%, betales årlig, finner vi:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

som gir

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

slik at

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + .675 + .675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investering: månedlige innskudd Rediger

Gitt et hovedbeløp (innledende) innskudd og et tilbakevendende innskudd, kan den totale avkastningen av en investering beregnes via den sammensatte rente oppnådd per tidsenhet. Hvis det er nødvendig, kan også renter på ekstra engangs- og gjentatte innskudd defineres innenfor samme formel (se nedenfor).

P {\ displaystyle P} = Hovedinnskudd r {\ displaystyle r} = Avkastning ( månedlig) M {\ displaystyle M} = Månedlig innskudd, og t {\ displaystyle t} = Tid, i måneder M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Hvis to eller flere typer innskudd forekommer (enten gjentatte eller engangs), blir forbindelsen opptjent rente kan representeres

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} hvor C og k er henholdsvis engangsinnskudd og gjentatte innskudd, og x og y er tidsforskjellene mellom et nytt innskudd og hvilken variabel t {\ displaystyle t} er modellering.