Biografi
Srinivasa Ramanujan var en av Indias største matematiske genier. Han ga betydelige bidrag til den analytiske teorien om tall og arbeidet med elliptiske funksjoner , fortsatte brøker og uendelige serier.
Ramanujan ble født i bestemorens hus i Erode, en liten landsby rundt 400 km sørvest for Madras (nå Chennai). Da Ramanujan var ett år gammel, tok moren ham med til byen Kumbakonam, omtrent 160 km nærmere Madras. Faren jobbet i Kumbakonam som kontorist i en tøysalgbutikk. I desember 1889 fikk han kopper.
Da han var nesten fem år gammel, kom Ramanujan inn på barneskolen i Kumbakonam, selv om han ville gå på flere forskjellige barneskoler før begynte på Town High School i Kumbakonam i januar 1898. På Town High School skulle Ramanujan gjøre det bra i alle skolefagene sine og viste seg en dyktig allround-lærer. I 1900 begynte han å jobbe alene med matematikk som oppsummerte geometrisk og aritmetiske serier.
Ramanujan ble vist hvordan han skulle løse kubiske ligninger i 1902, og han fortsatte med å finne sin egen metode for å løse kvartikken. Året etter, uten å vite at kvintikken ikke kunne løses av radikaler, prøvde han (og mislyktes selvfølgelig) i å løse kvintikken.
Det var på Town High School at Ramanujan kom over en matematikkbok av GS Carr kalt Synopsis of elementary results in pure mathematics. Denne boken, med sin veldig konsise stil, tillot Ra manujan for å lære seg selv matematikk, men stilen til boken var å ha en ganske uheldig effekt på måten Ramanujan senere skulle skrive ned matematikk siden den ga den eneste modellen han hadde av skriftlige matematiske argumenter. Boken inneholdt teoremer, formler og korte bevis. Den inneholdt også en indeks for papirer om ren matematikk som hadde blitt publisert i European Journals of Learned Societies i løpet av første halvdel av 1800-tallet. Boken, utgitt i 1886, var selvfølgelig godt utdatert da Ramanujan brukte den.
I 1904 hadde Ramanujan begynt å foreta dyp forskning. Han undersøkte serien ∑ (1n) \ sum (\ large \ frac {1} {n} \ normalsize) ∑ (n1) og beregnet Eulers konstant til 15 desimaler. Han begynte å studere Bernoulli-tallene, selv om dette var helt hans egen uavhengige oppdagelse.
Ramanujan, på styrken av sitt gode skolearbeid, fikk stipend til Government College i Kumbakonam som han gikk inn i 1904. Men året etter ble stipendet hans ikke fornyet fordi Ramanujan viet mer og mer av sin tid til matematikk og forsømte sine andre fag. Uten penger var han snart i vanskeligheter, og uten å fortelle foreldrene, stakk han av til byen Vizagapatnam omtrent 650 km nord for Madras. Han fortsatte imidlertid sitt matematiske arbeid og på dette tidspunktet jobbet han med hypergeometriske serier og undersøkte forholdet mellom integraler og serier. Han skulle senere oppdage at han hadde studert elliptiske funksjoner.
I 1906 dro Ramanujan til Madras hvor han gikk inn på Pachaiyappas høyskole. Målet hans var å bestå den første kunsteksamen som gjorde det mulig for ham å bli tatt opp til University of Madras. Han deltok på forelesninger ved Pachaiyappa College, men ble syk etter tre måneders studier. Han tok eksamen i første kunst etter at han hadde gått ut av kurset. Han besto i matematikk, men klarte ikke alle sine andre fag og klarte derfor ikke eksamen. Dette betydde at han ikke kunne de neste årene jobbet han med matematikk med å utvikle sine egne ideer uten hjelp og uten noen reell ide om de da gjeldende forskningsemnene annet enn det som ble gitt av Carrs bok.
Fortsetter sitt matematiske arbeid Ramanujan studerte fortsatte brøker og divergerende serier i 1908. På dette stadiet ble han alvorlig syk igjen og ble operert i april 1909, hvoretter han tok ham litt tid å komme seg. Han giftet seg 14. juli 1909 da moren ordnet ham for å gifte seg med en ti år gammel jente S Janaki Ammal. Ramanujan bodde imidlertid ikke sammen med sin kone før hun var tolv år gammel.
Ramanujan fortsatte å utvikle sine matematiske ideer og begynte å stille problemer og løse problemer i Journal of the Indian Mathematical Society. Han utviklet forholdet mellom elliptiske modulligninger i 1910. Etter publisering av et strålende forskningsoppgave om Bernoulli-tall i 1911 i Journal of the Indian Mathematical Society, fikk han anerkjennelse for sitt arbeid. Til tross for sin manglende universitetsutdannelse ble han godt kjent i Madras-området som et matematisk geni.
I 1911 henvendte Ramanujan seg til grunnleggeren av det indiske matematiske samfunnet for å få råd om en jobb. Etter dette ble han utnevnt til sin første jobb, en midlertidig stilling i regnskapsførerens kontor i Madras. Det ble da foreslått at han nærmet seg Ramachandra Rao som var samler i Nellore.Ramachandra Rao var grunnlegger av Indian Mathematical Society som hadde hjulpet til med å starte matematikkbiblioteket. Han skriver i: –
En kort uhyggelig skikkelse, tøff, ubarbert, ikke over ren, med ett iøynefallende funksjonskinnende øyne – gikk inn med en slitt notatbok under armen. Han var elendig fattig. … Han åpnet sin bok og begynte å forklare noen av funnene sine. Jeg så med en gang at det var noe ute av veien; men min kunnskap tillot meg ikke å bedømme om han snakket fornuft eller tull. … Jeg spurte ham hva han ville. Han sa at han ville ha et lite beløp å leve videre slik at han kunne fortsette sine undersøkelser.
Ramachandra Rao ba ham om å gå tilbake til Madras, og han prøvde, uten hell, å arrangere et stipend for Ramanujan. I 1912 søkte Ramanujan om stilling som kontorist i regnskapsdelen i Madras Port Trust. I søknadsbrevet skrev han: –
Jeg har bestått matrikeleksamen og studert opp til første kunst, men ble forhindret fra å fortsette studiene på grunn av flere uheldige omstendigheter. Jeg har imidlertid viet hele tiden matematikk og utviklet faget.
Til tross for at han ikke hadde noen universitetsutdanning, var Ramanujan tydelig kjent for universitetsmatematikerne i Madras for med sin søknadsbrev inkluderte Ramanujan en referanse fra EW Middlemast som var professor i matematikk ved The Presidency College i Madras. Middlemast, utdannet ved St Johns College, Cambridge, skrev: –
Jeg kan på det sterkeste anbefale søkeren. Han er en ung mann med ganske eksepsjonell kapasitet innen matematikk og spesielt i arbeid relatert til tall. Han har en naturlig beregningsevne og er veldig rask på figurarbeid.
På bakgrunn av anbefalingen ble Ramanujan utnevnt til kontorist og begynte sine plikter den 1. mars 1912. Ramanujan var ganske heldig som fikk en rekke mennesker som jobbet rundt ham med en opplæring i matematikk. Faktisk ble regnskapsfører for Madras Port Trust, SN Aiyar, utdannet matematiker og publiserte en artikkel om distribusjon av begynner i 1913 på Ramanujans arbeid. Professoren i sivilingeniør ved Madras Engineering College CLT Griffith var også interessert i Ramanujans evner og, etter å ha blitt utdannet ved University College London, kjente han professor i matematikk der, nemlig MJM Hill. Han skrev til Hill 12. november 1912 og sendte noe av Ramanujans verk og en kopi av 1911-papiret hans om Bernoulli-tall.
Hill svarte på en ganske oppmuntrende måte, men viste at han ikke hadde forstått Ramanujans resultater om divergerende serier. Anbefalingen til Ramanujan at han leste Bromwichs teori om uendelige serier gledet Ramanujan ikke mye. Ramanujan skrev til E W Hobson og H F Baker og prøvde å interessere dem for hans resultater, men ingen av dem svarte. I januar 1913 skrev Ramanujan til GH Hardy etter å ha sett en kopi av boken Orders of infinity fra 1910. I Ramanujans brev til Hardy presenterte han seg selv og sitt arbeid: –
Jeg har ikke hatt noen universitetsutdannelse, men jeg har gjennomgått det ordinære skolekurset. fritid til rådighet for å jobbe med matematikk. Jeg har ikke gått gjennom det konvensjonelle vanlige kurset som blir fulgt på et universitetskurs, men jeg stikker ut en ny vei for meg selv. Jeg har gjort en spesiell undersøkelse av forskjellige serier generelt og resultatene jeg får blir betegnet av de lokale matematikerne som «oppsiktsvekkende».
Hardy studerte sammen med Littlewood den lange listen over ubevisste teorier som Ramanujan vedlegger brevet sitt. 8. februar han svarte til Ramanujan, brevet begynte: –
Jeg var veldig interessert i brevet ditt og av setningene du oppgir. Du vil imidlertid forstå det før jeg kan bedømme riktig om verdien av det du har gjort, er det viktig at Jeg burde se bevis på noen av påstandene dine. Resultatene dine synes for meg å falle i omtrent tre klasser:
(1) det er en rekke resultater som allerede er kjent, eller som lett kan trekkes ut fra kjente teoremer;
(2) det er resultater som så langt som Jeg vet, er nye og interessante, men interessante heller fra deres nysgjerrighet og tilsynelatende vanskeligheter enn deres betydning.
(3) det er resultater som ser ut til å være nye og viktige …
Ramanujan var fornøyd med Hardys svar, og da han skrev igjen sa han: –
Jeg har funnet en venn i deg som ser på arbeidet mitt sympatisk … Jeg er allerede en halv sulten mann. For å bevare hjernen min vil jeg ha mat, og dette er min første vurdering. Ethvert sympatisk brev fra deg vil være nyttig for meg her for å få et stipend enten fra universitetet fra regjeringen.
Universitetet i Madras ga faktisk Ramanujan stipend i mai 1913 i to år, og i 1914 brakte Hardy Ramanujan til Trinity College, Cambridge, for å starte et ekstraordinært samarbeid. Å sette opp dette var ikke en enkel sak. Ramanujan var en ortodoks brahmin, og det samme var en streng vegetarianer. Hans religion burde ha hindret ham i å reise, men denne vanskeligheten ble overvunnet, delvis av arbeidet til EH Neville, som var en kollega av Hardy på Trinity College og som møtte Ramanujan mens han foreleste i India.
Ramanujan seilte fra India videre 17. mars 1914. Det var en rolig reise med unntak av tre dager der Ramanujan var sjøsyk. Han ankom London 14. april 1914 og ble møtt av Neville. Etter fire dager i London dro de til Cambridge og Ramanujan tilbrakte et par uker i Nevilles hjem før han flyttet inn i rom i Trinity College den 30. april. Helt fra begynnelsen hadde han imidlertid problemer med kostholdet. Utbruddet av første verdenskrig gjorde det vanskeligere å skaffe spesielle matvarer, og det gikk ikke lang tid før Ramanujan hadde helseproblemer.
Helt fra starten førte Ramanujans samarbeid med Hardy til viktige resultater. Hardy var imidlertid usikker på hvordan nærme seg problemet med Ramanujans mangel på formell utdannelse. Han skrev: –
Hva skulle gjøres for å lære ham moderne matematikk? Begrensningene i hans kunnskap var like oppsiktsvekkende som dens dyphet.
Littlewood ble bedt om å hjelpe til med å lære Ramanujan grundige matematiske metoder. Imidlertid sa han (): –
… at det var ekstremt vanskelig fordi hver gang noen saker, som man trodde at Ramanujan trengte å vite, ble nevnt, kom Ramanujans svar var et skred av originale ideer som gjorde det nesten umulig for Littlewood å fortsette i sin opprinnelige intensjon.
Krigen tok Littlewood snart bort på krigsvakt, men Hardy forble i Cambridge for å samarbeide med Ramanujan Selv den første vinteren i England var Ramanujan syk og han skrev i mars 1915 at han hadde vært syk på grunn av vinterværet og ikke hadde klart å publisere noe på fem måneder. Det han publiserte var arbeidet han gjorde i England, avgjørelsen var tatt om at resultatene han hadde oppnådd mens han var i India, hvorav mange han hadde kommunisert til Hardy i sine brev, ikke ville bli publisert før krigen var avsluttet.
16. mars 1916 ble Ramanujan uteksaminert fra Cambridge med en Bachelor of Arts ved forskning (graden ble kalt en Ph.D. f rom 1920). Han hadde fått lov til å melde seg i juni 1914 til tross for at han ikke hadde de rette kvalifikasjonene. Ramanujans avhandling handlet om svært sammensatte tall og besto av syv av hans artikler som ble publisert i England.
Ramanujan ble alvorlig syk i 1917 og legene fryktet at han ville dø. Han forbedret seg litt innen september, men brukte mesteparten av tid på forskjellige sykehjem. I februar 1918 skrev Hardy (se): –
Batty Shaw fant ut hva andre leger ikke visste, at han hadde gjennomgått en operasjon for omtrent fire år siden. Hans verste teori var at dette virkelig hadde vært for fjerning av en ondartet vekst, feil diagnostisert. Med tanke på at Ramanujan ikke er verre enn for seks måneder siden, har han nå forlatt denne teorien – de andre legene ga den aldri noe støtte. Tuberkel har vært den foreløpig aksepterte teorien, bortsett fra dette, siden den opprinnelige ideen om magesår ble gitt opp … Som alle indianere er han fatalistisk, og det er veldig vanskelig å få ham til å ta vare på seg selv. div id = «26083ad0ac»> 18. februar 1918 var Ramanujan valgt en stipendiat fra Cambridge Philosophical Society og deretter tre dager senere, den største æren han ville motta, dukket navnet hans opp på listen for valg som stipendiat i Royal Society of London. Han hadde blitt foreslått av en imponerende liste over matematikere, nemlig Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth og Whitehead. Valget hans som stipendiat i Royal Society ble bekreftet 2. mai 1918, deretter 10. oktober 1918 ble han valgt til stipendiat i Trinity College Cambridge, stipendiet som skulle løpe i seks år.
Den æresbevisningen som ble tildelt Ramanujan syntes for å hjelpe helsen sin til å forbedre seg litt, og han fornyet sin kraft med å produsere matematikk. Ved slutten av november 1918 hadde Ramanujans helse blitt betydelig bedre. Hardy skrev i et brev: –Jeg tror vi nå håper at han har snudd til hjørne, og er på vei til en virkelig bedring. Temperaturen hans har opphørt å være uregelmessig, og han har fått nesten en stein i vekt … Det har aldri vært noen tegn til noen diminuering i hans ekstraordinære matematiske talenter. Han har produsert mindre, naturlig, i løpet av hans sykdom, men kvaliteten har vært den samme ….
Han kommer tilbake til India med et vitenskapelig anseelse og rykte som ingen indianere har hatt før, og jeg er trygg på at India vil betrakte ham som den skatten han er. Hans naturlige enkelhet og beskjedenhet har aldri blitt påvirket i det minste av suksess – det eneste som er ønsket er å få ham til å innse at han virkelig er en suksess.Ramanujan seilte til India videre 27. februar 1919 ankommer 13. mars. Hans helse var imidlertid veldig dårlig, og til tross for medisinsk behandling døde han der året etter.
Brevene Ramanujan skrev til Hardy i 1913 hadde inneholdt mange fascinerende resultater. Ramanujan utarbeidet Riemann-serien, de elliptiske integralene, hypergeometriske seriene og funksjonelle ligninger av zeta-funksjonen. På den annen side hadde han bare en vag idé om hva som utgjør et matematisk bevis. Til tross for mange strålende resultater, var noen av hans teoremer om primtall helt feil.
Ramanujan oppdaget uavhengig resultater av Gauss, Kummer og andre om hypergeometriske serier. Ramanujans eget arbeid med delsummer og produkter fra hypergeometriske serier har ført til en betydelig utvikling i temaet. Kanskje hans mest berømte arbeid var på antall p (n) partisjoner av et helt tall nnn i sommer. MacMahon hadde produsert tabeller over verdien av p (n) p (n) p (n) for små tall nnn, og Ramanujan brukte disse numeriske dataene til å gjette noen bemerkelsesverdige egenskaper, hvorav noen viste at han brukte elliptiske funksjoner. Andre ble først påvist etter Ramanujans død. et felles papir med Hardy ga Ramanujan en asymptotisk formel for p (n) p (n) p (n). Den hadde den bemerkelsesverdige egenskapen at det så ut til å gi den riktige verdien av p (n) p (n) p (n), og dette ble senere bevist av Rademacher.
Ramanujan etterlot seg en rekke upubliserte notatbøker fylt med teoremer som matematikere har fortsatt å studere. GN Watson, murprofessor i ren matematikk i Birmingham fra 1918 til 1951, ga ut 14 artikler under den generelle tittelen teoremer uttalt av Ramanujan, og i alt publiserte han nesten 30 artikler som var inspirert av Ramanujans verk. Hardy videreformidlet til Watson det store antallet av manuskripter av Ramanujan som han hadde, både skrevet før 1914 og noen skrevet i Ramanujan i fjor i India før hans død.
Bildet over er hentet fra et frimerke utstedt av det indiske postkontoret for å feire 75-årsjubileet for fødselen hans.