Den eksponentielle fordelingen er en av de mye brukte kontinuerlige distribusjonene. Det brukes ofte til å modellere tiden som har gått mellom hendelsene. Vi vil nå matematisk definere den eksponensielle fordelingen, og utlede den gjennomsnittlige og forventede verdien. Deretter vil vi utvikle intuisjonen for distribusjonen og diskutere flere interessante egenskaper den har.

Figur 4.5 viser PDF av eksponensiell fordeling for flere verdier av $ \ lambda $.

La $ X \ sim Exponential (\ lambda) $. Vi kan finne dens forventede verdi på følgende måte, ved å bruke integrering av deler:

La oss nå finne Var $ (X) $. Vi har

Dermed vi får $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

En interessant egenskap ved den eksponensielle fordelingen er at den kan sees på som en kontinuerlig analog av den geometriske fordelingen. For å se dette, husk det tilfeldige eksperimentet bak den geometriske fordelingen: du kaster en mynt (gjenta et Bernoulli-eksperiment) til du observerer de første hodene (suksess). Anta at myntekastene er $ \ Delta $ sekunder fra hverandre og i hvert kast er sannsynligheten for suksess $ p = \ Delta \ lambda $. Anta også at $ \ Delta $ er veldig liten, så myntekastene er veldig tett i tide og sannsynligheten for suksess i hver prøve er veldig lavt. La $ X $ være tiden du observerer gran første suksess. Vi vil vise i delen Løste problemer at fordelingen av $ X $ konvergerer til $ Exponential (\ lambda) $ når $ \ Delta $ nærmer seg null.

For å få litt intuisjon for denne tolkningen av den eksponensielle fordelingen antar at du venter på at en hendelse skal skje. For eksempel er du i en butikk og venter på neste kunde. I hvert millisekund er sannsynligheten for at en ny kunde kommer inn i butikken veldig liten. Du kan forestille deg at i hvert millisekund kastes en mynt (med en veldig liten $ P (H) $), og hvis den lander, kommer nye kunder inn. Hvis du kaster en mynt hvert millisekund, følger tiden til en ny kunde ankommer omtrent en eksponentiell fordeling.

Ovenstående tolkning av den eksponentielle er nyttig for å bedre forstå egenskapene til den eksponensielle fordelingen. Den viktigste av disse egenskapene er at den eksponensielle fordelingen er minneløs. For å se dette, tenk på en eksponentiell tilfeldig variabel i betydningen å kaste mange mynter til du observerer de første hodene. Hvis vi kaster mynten flere ganger og ikke observerer hoder, er det fra nå av som om vi begynner på nytt. Med andre ord påvirker ikke de mislykkede myntkastene fordelingen av ventetid fra nå av. Årsaken til dette er at myntkastene er uavhengige. Vi kan si dette formelt som følger: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

Fra synspunktet på ventetid til ankomst til en kunde, betyr den minneløse egenskapen at det ikke betyr noe hvor lenge du har ventet så langt. Hvis du ikke har observert en kunde før tiden $ a $, er fordelingen av ventetid (fra tiden $ a $) til neste kunde den samme som da du startet på tidspunktet null. La oss bevise den minneløse egenskapen til den eksponensielle fordelingen. \ Begynn {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}