Mens vertikale asymptoter beskriver atferden til en graf ettersom utdata blir veldig stor eller veldig liten, hjelper horisontale asymptoter med å beskrive oppførselen til en graf da inngangen blir veldig stor eller veldig liten. Husk at et polynomets sluttadferd vil speile den som er ledende. Likeledes vil en rasjonell funksjons endemåte speile forholdet mellom de ledende begrepene for teller- og nevnerfunksjonene.
Det er tre forskjellige utfall når du ser etter horisontale asymptoter:
Tilfelle 1: Hvis graden av nevneren > tellerens grad, er det en horisontal asymptote ved y = 0.
Tilfelle 2: Hvis graden av nevneren < tellerens grad en, får vi en skrå asymptote.
Legg merke til at mens grafen til en rasjonell funksjon aldri vil krysse en vertikal asymptote, graf kan krysse eller ikke krysse en horisontal eller skrå asymptote. Selv om grafen til en rasjonell funksjon kan ha mange vertikale asymptoter, vil grafen maksimalt ha en horisontal (eller skrå) asymptote.
Det bør bemerkes at hvis telleren er større enn graden av nevneren med mer enn en, vil sluttatferden til grafen etterligne oppførselen til den reduserte sluttatferden \ fraksjonen. For eksempel hvis vi hadde funksjonen
med sluttatferd
endeattferden til grafen vil se ut som den til et jevnt polynom med en positiv ledende koeffisient.
En generell merknad: Horisontale asymptoter av Rasjonelle funksjoner
Den horisontale asymptoten til en rasjonell funksjon kan bestemmes ved å se på grader av teller og nevner.
- Tellergrad er mindre enn grad av nevner: horisontal asymptote ved y = 0.
- Tellergrad er større enn grad av nevner én: ingen horisontal asymptote; skrå asymptote.
- Tellergrad er lik grad av nevner: horisontal asymptote i forholdet mellom ledende koeffisienter.
En generell merknad: Avskjæringer av rasjonelle funksjoner
En rasjonell funksjon vil ha et y-skjæringspunkt når inngangen er null, hvis funksjonen er definert til null. En rasjonell funksjon vil ikke ha et y-skjæringspunkt hvis funksjonen ikke er definert ved null.
På samme måte vil en rasjonell funksjon ha x-avskjæringer ved inngangene som får utgangen til å være null. Siden en \ brøk bare er lik null når telleren er null, kan x-avskjæringer bare forekomme når telleren til den rasjonelle funksjonen er lik null.
Prøv det 7
Gitt den gjensidige kvadratfunksjonen som er forskjøvet \ høyre 3 enheter og ned 4 enheter, skriv dette som en rasjonell funksjon. Finn deretter x– og y-avskjæringer og de horisontale og vertikale asymptotene.
Løsning