Archimedes (Norsk)

Hans verk

Det er ni eksisterende avhandlinger av Archimedes på gresk. De viktigste resultatene i On the Sphere and Cylinder (i to bøker) er at overflatearealet til en hvilken som helst sfære med radius r er fire ganger den største sirkelen (i moderne notasjon, S = 4πr2), og at volumet til en sfære er to tredjedeler av sylinderen der den er innskrevet (fører umiddelbart til formelen for volumet, V = 4 / 3πr3). Archimedes var stolt nok av den sistnevnte oppdagelsen til å legge igjen instruksjoner for at graven hans skulle bli merket med en kule innskrevet i en sylinder. Marcus Tullius Cicero (106–43 f.Kr.) fant graven, gjengrodd av vegetasjon, halvannet århundre etter Archimedes død.

Måling av sirkelen er et fragment av et lengre verk der π (pi), forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel, er vist å ligge mellom grensene på 3 10/71 og 3 1/7. Archimedes tilnærming til å bestemme π, som består i å innskrive og omskrive vanlige polygoner med et stort antall sider, ble fulgt av alle til utviklingen av uendelige serieutvidelser i India i løpet av 1400-tallet og i Europa i løpet av 1600-tallet. Dette arbeidet inneholder også nøyaktige tilnærminger (uttrykt som forholdstall av heltall) til kvadratrøttene til 3 og flere store tall.

On Conoids and Spheroids handler om å bestemme volumene av segmentene av faste stoffer dannet av revolusjonen et konisk snitt (sirkel, ellips, parabel eller hyperbola) rundt sin akse. I moderne termer er det problemer med integrering. (Se kalkulator.) On Spirals utvikler mange egenskaper for tangenter til og områder knyttet til Archimedes-spiralen – dvs. stedet for et punkt som beveger seg med jevn hastighet langs en rett linje som i seg selv roterer med jevn hastighet rundt et fast punkt . Det var en av bare noen få kurver utover den rette linjen og de kjeglesnitt som var kjent i antikken.

Om likevekt av planer (eller sentra for tyngdekraften i fly; i to bøker) er det hovedsakelig opptatt av å etablere tyngdepunkt for forskjellige rettlinjeformede figurer og segmenter av parabolen og paraboloidet. Den første boken tilsier å etablere «spakenes lov» (størrelsesbalanse i avstander fra støttepunktet i omvendt forhold til vektene), og det er hovedsakelig på grunnlag av den avhandlingen Archimedes har blitt kalt grunnleggeren av teoretisk mekanikk. Mye av boken er imidlertid utvilsomt ikke autentisk, og består som den av uhensiktsmessige senere tillegg eller omarbeidelser, og det virker sannsynlig at det grunnleggende prinsippet i loven om spaken og – muligens – begrepet tyngdepunkt ble etablert på matematisk grunnlag av lærde tidligere enn Archimedes. Hans bidrag var snarere å utvide disse konseptene til kjeglesnitt.

Kvadraturen til Parabola demonstrerer først med «mekaniske» midler (som i Metoden, diskutert nedenfor) og deretter ved konvensjonelle geometriske metoder, at arealet til et hvilket som helst segment av en parabel er 4/3 av arealet av trekanten som har samme base og høyde som det segmentet. Det er igjen et problem i integrasjonen.

Sand-Reckoner er en liten avhandling som er en jeu desprit skrevet for lekmann – den er adressert til Gelon, sønn av Hieron – som likevel inneholder noen dypt originale matematikker. Hensikten er å avhjelpe manglene ved det greske numeriske notasjonssystemet ved å vise hvordan man kan uttrykke et stort antall – antall sandkorn som det tar å fylle hele universet. Det Archimedes faktisk gjør, er å lage et stedverdi-noteringssystem, med en base på 100.000.000. (Det var tilsynelatende en helt original idé, siden han ikke hadde kjennskap til det moderne babylonske stedverdisystemet med base 60.) Arbeidet er også av interesse fordi det gir den mest detaljerte gjenlevende beskrivelsen av det heliosentriske systemet til Aristarchus av Samos ( c. 310-230 fvt) og fordi den inneholder en redegjørelse for en genial prosedyre som Archimedes brukte for å bestemme solens tilsynelatende diameter ved observasjon med et instrument.

Metode angående mekaniske teorier beskriver en oppdagelsesprosess i matematikk . Det er det eneste gjenlevende verket fra antikken, og et av de få fra noen periode, som tar for seg dette emnet.I den forteller Archimedes hvordan han brukte en «mekanisk» metode for å komme til noen av sine viktigste funn, inkludert arealet av et parabolsk segment og overflatearealet og volumet til en kule. men like mange uendelig tynne strimler, og deretter «veier» hvert tilsvarende par av disse stripene mot hverandre på en teoretisk balanse for å oppnå forholdet mellom de to originale figurene. Archimedes understreker at selv om den er nyttig som en heuristisk metode, utgjør denne prosedyren ikke et strengt bevis.

På flytende kropper (i to bøker) overlever bare delvis på gresk, resten i middelalderens latinske oversettelse fra gresk . Det er det første kjente arbeidet med hydrostatikk, hvorav Archimedes er anerkjent som grunnleggeren. Hensikten er å bestemme posisjonene som forskjellige faste stoffer vil anta når de flyter i en væske, i henhold til deres form og variasjonen i deres spesifikke tyngdekraft. I den første boka er forskjellige generelle prinsipper etablert, særlig det som har blitt kjent som Archimedes ’prinsipp: et fast tettere enn en væske vil, når den er nedsenket i væsken, være lettere av vekten av væsken den fortrenger. Den andre boka er en matematisk kraftturnering uten sidestykke i antikken og sjelden sidestilt siden. I den bestemmer Archimedes de forskjellige stabilitetsposisjonene som en høyre paraboloid av revolusjon antar når den flyter i en væske med større egenvekt, i henhold til geometriske og hydrostatiske variasjoner.

Archimedes er kjent fra referanser fra senere forfattere, å ha skrevet en rekke andre verk som ikke har overlevd. Av spesiell interesse er avhandlinger om katoptikk, der han blant annet diskuterte fenomenet brytning; på de 13 semiregulære (arkimediske) polyedrene (kroppene avgrenset av vanlige polygoner, ikke nødvendigvis alle av samme type, som kan skrives inn i en sfære); og «Cattle Problem» (bevart i et gresk epigram), som utgjør et problem i ubestemt analyse, med åtte ukjente. I tillegg til dem overlever det flere verk i arabisk oversettelse tilskrevet Archimedes som ikke kan ha blitt komponert av ham i deres nåværende form, selv om de kan inneholde «arkimediske» elementer. Disse inkluderer et arbeid med å innskrive den vanlige heptagonen i en sirkel; en samling lemmaer (antagelser som antas å være sanne som brukes til å bevise en teorem) og en bok, On Touching Circles, som begge har å gjøre med elementærplangeometri; og Stomachion (hvorav deler også overlever på gresk), som har å gjøre med en firkant delt inn i 14 brikker for et spill eller et puslespill.

Archimedes matematiske bevis og presentasjon viser stor dristighet og originalitet i tankene på den ene hånd og ekstrem strenghet på den andre, og oppfyller de høyeste standardene for moderne geometri. Mens metoden viser at han kom til formlene for overflateareal og volum av en sfære med «mekanisk» resonnement som involverte uendelige størrelser, bruker han i sine faktiske bevis på resultatene i sfære og sylinder bare de strenge metodene for påfølgende endelig tilnærming som hadde ble oppfunnet av Eudoxus fra Cnidus i det 4. århundre fvt. Disse metodene, som Archimedes var en mester om, er standardprosedyren i alle hans arbeider med høyere geometri som omhandler å bevise resultater om områder og volumer. Deres matematiske strenghet står i sterk kontrast til «bevisene» til de første utøverne av integrert kalkulus på 1600-tallet, da uendelige dyr ble introdusert i matematikk. Likevel er Archimedes resultater ikke mindre imponerende enn deres. Den samme friheten fra konvensjonelle tenkemåter er tydelig i det aritmetiske feltet i Sand-Reckoner, som viser en dyp forståelse av naturen til det numeriske systemet.

I antikken var Archimedes også kjent som en fremragende astronom: hans observasjoner av solverv ble brukt av Hipparchus (blomstret ca. 140 f.Kr.), den fremste eldgamle astronomen. Svært lite er kjent om denne siden av Archimedes aktivitet, selv om Sand-Reckoner avslører sin sterke astronomiske interesse og praktiske observasjonsevne. Det har imidlertid blitt overlevert et sett med tall som er tilskrevet ham, og som gir avstanden til de forskjellige himmellegemene fra jorden, noe som har vist seg å være basert ikke på observerte astronomiske data, men på en «Pythagoras» teori som knytter romlige intervaller planetene med musikalske intervaller. Overraskende om det er å finne de metafysiske spekulasjonene i arbeidet til en praktiserende astronom, er det god grunn til å tro at deres tillegging til Archimedes er riktig.