지수 분포는 널리 사용되는 연속 분포 중 하나입니다. 이벤트 사이에 경과 된 시간을 모델링하는 데 자주 사용됩니다. 이제 지수 분포를 수학적으로 정의하고 평균과 예상 값을 도출합니다. 그런 다음 분포에 대한 직관을 개발하고 그 분포가 갖는 몇 가지 흥미로운 속성에 대해 논의 할 것입니다.

그림 4.5는 $ \ lambda $의 여러 값에 대한 지수 분포의 PDF를 보여줍니다.

Let $ X \ sim 지수 (\ lambda) $. 부분 별 적분을 사용하여 다음과 같이 예상 값을 찾을 수 있습니다.

이제 Var $ (X) $를 찾아 보겠습니다.

따라서, $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2}-\ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

지수 분포의 흥미로운 속성은 연속적인 유사체로 볼 수 있다는 것입니다. 이것을보기 위해 기하학적 분포 뒤에있는 무작위 실험을 떠올려보십시오. 첫 번째 앞면 (성공)을 관찰 할 때까지 동전을 던집니다 (베르누이 실험을 반복). 이제 동전 던지기가 $ \ Delta $라고 가정합니다. 몇 초 간격을두고 각 던지기에서 성공 확률은 $ p = \ Delta \ lambda $입니다. 또한 $ \ Delta $가 매우 작기 때문에 동전 던지기가 시간상 매우 가깝고 각 시도에서 성공할 확률이 다음과 같다고 가정합니다. 매우 낮습니다. $ X $는 전나무를 관찰하는 시간입니다. st 성공. $ \ Delta $가 0에 가까워짐에 따라 $ X $의 분포가 $ Exponential (\ lambda) $로 수렴된다는 것을 Solved Problems 섹션에서 보여줄 것입니다.

지수 분포의이 해석에 대한 직관을 얻으려면 , 이벤트가 발생하기를 기다리고 있다고 가정합니다. 예를 들어, 당신은 상점에 있고 다음 고객을 기다리고 있습니다. 1 밀리 초마다 새로운 고객이 매장에 들어갈 확률은 매우 적습니다. 매 밀리 초마다 동전 ($ P (H) $가 매우 적음)이 던져지고, 머리가 떨어지면 새로운 고객이 들어 온다고 상상할 수 있습니다. 밀리 초마다 동전을 던지면 새로운 고객이 도착할 때까지 걸리는 시간은 대략 지수 분포를 따릅니다.

위의 지수 해석은 지수 분포의 속성을 더 잘 이해하는 데 유용합니다. 이러한 속성 중 가장 중요한 것은 지수 분포가 메모리가 없다는 것입니다. 이를 확인하려면 첫 번째 앞면을 관찰 할 때까지 많은 동전을 던지는 의미에서 지수 랜덤 변수를 생각해보십시오. 동전을 여러 번 던지고 앞면을 보지 않으면 지금부터는 다시 시작하는 것과 같습니다. 즉, 실패한 동전 던지기는 지금부터 대기 시간 분포에 영향을 미치지 않습니다. 그 이유는 동전 던지기가 독립적이기 때문입니다. 공식적으로 다음과 같이 명시 할 수 있습니다. $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

고객이 도착할 때까지의 대기 시간 관점에서 메모리가없는 속성은 기다린 시간이 중요하지 않음을 의미합니다. 지금까지. $ a $ 시간까지 고객을 관찰하지 않은 경우 $ a $ 시간부터 다음 고객까지의 대기 시간 분포는 시간 0에서 시작할 때와 동일합니다. 지수 분포의 메모리없는 속성을 증명해 보겠습니다. \ begin {align} % \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { -\ lambda (x + a)}} {e ^ {-\ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {-\ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}