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통계
소개
논리적으로 보이는 것이 약간의 수학으로 거짓으로 판명되는 경우가 얼마나되는지 알아 본 적이 있습니까? 예를 들어, 같은 생일을 공유하는 두 사람을 찾기 위해 평균적으로 몇 명의 사람들이 설문 조사를해야한다고 생각하십니까? 확률로 인해 때때로 우리가 생각하는 것보다 사건이 발생할 가능성이 더 높습니다. 이 경우 23 명으로 구성된 무작위 그룹을 조사하면 실제로 두 사람이 같은 생일을 가질 확률이 약 50-50입니다. 이것은 생일 역설로 알려져 있습니다. 그것이 사실이라고 믿지 않습니까? 이를 테스트하고 실제 수학적 확률을 확인할 수 있습니다!
배경
생일 문제라고도하는 생일 역설은 23 명의 무작위 그룹에서 약 50 %의 확률이 있다고 말합니다. 두 사람의 생일이 같다고 정말 사실인가요? 이것이 역설처럼 보이는 데에는 여러 가지 이유가 있습니다. 하나는 다른 22 명과 함께 방에있을 때 한 사람이 자신의 생일을 다른 사람의 생일과 비교하면 22 번만 비교할 수 있다는 것입니다. 사람들이 같은 생일을 공유 할 수있는 기회는 22 번뿐입니다.
그러나 23 개의 생일을 모두 서로 비교하면 22 개 이상의 비교가됩니다. 얼마나 더? 음, 첫 번째 사람은 22 개의 비교를해야하지만 두 번째 사람은 이미 첫 번째 사람과 비교되었으므로 21 개의 비교 만 할 수 있습니다. 그런 다음 세 번째 사람은 20 개의 비교를, 네 번째 사람은 19 개의 비교를합니다. 가능한 모든 비교 (22 + 21 + 20 + 19 +… +1)를 더하면 합계는 253 개의 비교 또는 조합입니다. 결과적으로 23 명의 각 그룹은 253 개의 비교를 포함하거나 생일을 일치시킬 수있는 253 개의 기회를 포함합니다.
자료
• 23 명 이상의 그룹 (10 ~ 12 명 그룹) 또는 임의의 생일이있는 출처 (아래 준비 참조) 팁)
• 종이와 펜 또는 연필
• 계산기 (옵션)
준비
• 23 명 이상의 무작위 그룹을 위해 생일을 수집합니다. 이상적으로는 23 명 이상으로 구성된 10-12 개의 그룹을 확보하여 비교할 수있는 다른 그룹을 충분히 확보해야합니다. (생일에는 연도가 필요하지 않고 월과 일만 필요합니다.)
• 팁 : 다음은 무작위로 그룹화 된 여러 사람을 찾을 수있는 몇 가지 방법입니다. 학교 교사에게 각각의 목록을 전달하도록 요청하십시오. 수업 중 학생들의 생일을 수집하기 위해 (대부분의 학교는 한 수업에 약 25 명의 학생이 있습니다.) 메이저 리그 야구 팀 선수의 생일을 사용합니다 (이 정보는 인터넷에서 쉽게 찾을 수 있음). 또는 생일을 사용합니다. 온라인 소스를 사용하는 다른 임의의 사람들.
절차
• 수집 한 23 개 이상의 생일 그룹에 대해 정렬하여 각 그룹에 일치하는 생일이 있는지 확인합니다.
• 몇 명 그룹에 생일이 같은 사람이 둘 이상 있습니까? 생일 패러독스에 따르면 생일이 같은 두 사람이있는 그룹은 몇 개입니까? 생일 패러독스가 사실입니까?
• 추가 : 여기에 23 명 이상의 그룹을 사용했지만 더 큰 그룹을 사용하여 시도 할 수 있습니다. 366 명의 그룹 (1 년에 최대 일수)을 사용하십시오. 두 사람이 같은 생일을 가질 확률은 100 %입니다 (2 월 29 일 윤년 생일 제외).하지만 그룹에서 확률은 얼마라고 생각하십니까? 60 명 또는 75 명?
• 추가 : 주사위를 굴리는 것은 확률을 조사하는 좋은 방법입니다. 10면 주사위 3 개와 6면 주사위 5 개를 각각 100 번 굴리고 각 결과를 기록 할 수 있습니다. 주사위를 100 번 굴릴 때 각 주사위 조합에 대해 18보다 높은 합계를 얻을 수있는 수학적 확률을 계산합니다. (이 웹 사이트는 확률 계산 방법을 알려줄 수 있습니다. Oracle ThinkQuest의 Probability Central.) 어떤 조합이 더 높은 수학적 확률을 가지고 있으며이를 롤링했을 때 이것이 사실 이었습니까?
관찰 및 결과
23 명 이상의 그룹에 생일이 같은 사람이 두 명 이상 포함되어 있습니까?
확률을 생일과 비교할 때 사람들이 생일을 공유하지 않을 확률을 더 쉽게 볼 수 있습니다. 한 사람의 생일은 365 일 가능성 중 하나입니다 (2 월 29 일 생일 제외). 한 사람의 생일이 다른 사람과 같은 생일이 아닐 확률은 364를 365로 나눈 것입니다. 이는 사람의 생일이 아닌 364 일이 있기 때문입니다. . 이는 두 사람이 생일과 일치하지 않을 확률이 364/365 (99.726027 %)임을 의미합니다.
앞서 언급했듯이 23 명의 그룹에는 253 개의 비교 또는 조합이 있습니다. 만들어지다. 따라서 우리는 단지 하나의 비교가 아니라 253 개의 비교를보고 있습니다. 253 개의 조합 중 모든 조합은 일치하지 않을 확률이 99.726027 %입니다. 99.726027 %에 99를 곱하면726027 253 번 또는 (364/365) 253을 계산하면 모든 253 비교에 일치 항목이 없을 가능성이 49.952 %입니다. 결과적으로 253 건의 비교에서 생일 경기가있을 확률은 1 – 49.952 % = 50.048 % 또는 절반 이상입니다! 시행 횟수가 많을수록 실제 확률은 50 %에 가까워 야합니다.
자세히 알아보기
BetterExplained의 “Understanding the Birthday Paradox”
Oracle의 “Probability Central” ThinkQuest
MathIsFun의 “Combinations and Permutations”
Science Buddies의 “The Birthday Paradox”
이 활동은 Science Buddies와의 파트너십을 통해 제공되었습니다.