복리

주기적 복리 편집

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P “= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

여기서 :

P는 원래 주요 합계 P”는 새로운 주요 합계 r입니다. 명목 연간 이자율 n은 복리 빈도 t는이자가 적용되는 전체 기간입니다 (일반적으로 r과 같은 시간 단위를 사용하여 표현됨).

생성 된 총 복리이자는 최종 값에서 초기 원금을 뺀 값입니다.

I = P (1 + rn) nt − P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

예제 1 편집

P ′ = 1500 × (1 + 0.043 4) 4 × 6 ≈ 1 938.84 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

그래서 새로운 주 P ′ {\ displaystyle P “} 6 년은 약 $ 1,938.84입니다.

이 금액에서 원래 원금을 빼면받는이자가 다음과 같이됩니다.

1 938.84 − 1 500 = 438.84 {\ displaystyle 1 \, 938.84-1 \, 500 = 438.84}

예제 2 편집

P ′ = 1500 × (1 + (0.043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921.24 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1+ ( 0.043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921.24}

따라서 6 년 후의 잔액은 약 $ 1,921.24입니다.

이자는이 금액에서 원금을 빼서 계산할 수 있습니다.

1 921.24 − 1 500 = 421.24 {\ displaystyle 1 \, 921.24-1 \, 500 = 421 .24}

복리 빈도가 낮기 때문에이자가 이전 사례에 비해 적습니다.

누적 함수 편집

주 P는 단순히 계수이므로, 단순성을 위해 종종 삭제되고 그 결과 누적 함수가 대신 사용됩니다. 누적 함수는 시간이 지남에 따라 $ 1가 증가하는 것을 보여줍니다.

단리 및 복리에 대한 누적 함수는 다음과 같습니다.

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}이면이 두 함수는 동일합니다.

연속 합성 편집

As n , 연간 복리 기간의 수는 제한없이 증가합니다.이 경우 연속 복리라고합니다.이 경우 유효 연간 비율이 상한 인 er − 1에 도달합니다. 여기서 e는 자연의 기저 인 수학 상수입니다. 로그.

연속 합성은 n이 무한대에 도달 할 때 한계를 취함으로써 합성주기를 무한히 작게 만드는 것으로 생각할 수 있습니다. 이 한계에 대한 수학적 증명은 지수 함수의 정의를 참조하십시오. t주기의 연속 합성 이후의 양은 초기 양 P0로 표현할 수 있습니다.

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Force of InterestEdit

복합 기간의 수 n {\ displaystyle n}이 연속 복리에서 무한대에 도달함에 따라, 연속 복리 이율은 관심의 힘 δ {\ displaystyle \ delta}라고합니다.

수학에서 누적 함수는 종종 자연 로그의 밑인 e로 표현됩니다. 이것은 미적분을 사용하여 관심 공식을 조작하는 것을 용이하게합니다.

연속적으로 미분 할 수있는 축적 함수 a (t)의 경우, 관심의 힘 또는보다 일반적으로 대수 또는 연속 복리 수익은 다음과 같이 정의 된 시간 함수입니다. 다음과 같습니다 :

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

누적 함수의 로그 미분입니다.

반대로 :

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (이후 a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; 이것은 제품 적분의 특별한 경우로 볼 수 있습니다.)

위의 공식이 미분 방정식 형식으로 쓰여질 때 관심의 힘은 단순히 계수입니다. 변화량 :

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

일정한 연간 이자율 r,이자의 힘은 상수 t, 그리고 관심의 힘에 대한이자 복리의 누적 함수는 e의 단순 거듭 제곱입니다.

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } 또는 a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

이자의 힘이 연간 유효 이자율보다 작지만 연간 유효 할인보다 큽니다. 율. e- 폴딩 시간의 역수입니다. 이자율 표기법도 참조하십시오.

복리 기준 편집

한 복리 기준에서 다른 복리 기준으로 이율을 변환하려면 다음을 사용하십시오.

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

여기서 r1은 복리 빈도 n1의 이자율이고 r2는 복리 빈도 n2의 이자율입니다.

관심이 계속 복리 화 될 때

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

여기서 δ {\ displaystyle \ delta}는 연속 복리를 기준으로 한 이자율이고, r은 복리 빈도가 n 인 명시된 이자율입니다.

월별 상각 대출 또는 모기지 paymentsEdit

상각 된 대출 및 모기지에 대한이자 (즉, 대출금이 갚을 때까지 매월 부드럽게 지불 됨)는 종종 매월 복리로 계산됩니다. 지불 공식은 다음 인수에서 찾을 수 있습니다.

월 지불에 대한 정확한 공식 편집

월 지불에 대한 정확한 공식 (c {\ displaystyle c})은 다음과 같습니다.

c = P r 1 − 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-{\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

또는 동등하게

c = P r 1 − e − n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {-n \ ln (1 + r)} }}}

여기서 :

c {\ displaystyle c} = 월별 지불 P {\ displaystyle P} = 원금 r {\ displaystyle r} = 월 이자율 n {\ displaystyle n} = 지불 기간 수

매월 상환해야 할 금액을 고려하여 얻을 수 있습니다.
첫 달 이후 남은 원금은

P 1 = (1 + r) P − c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

즉, 초기 금액 +이자에서 지불액을 뺀 금액.
대출금 전체가 한 달 후에 상환되면

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, 따라서 P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

두 번째 달 이후 P 2 = (1 + r) P 1 − c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c}가 남았으므로

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P − c) − c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

두 달 후에 전체 대출금을 상환했다면

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, 따라서 P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 − 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1-{\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

다시 정렬하여 줄 수 있음

c = P r 1 − 1 (1 + r) n = P r 1 − e − n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-{\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {-n \ ln (1 + r)}}}} 스프레드 시트 공식

스프레드 시트에서 PMT ( ) 기능이 사용됩니다. 구문은 다음과 같습니다.

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

자세한 내용은 Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets를 참조하세요.

예 : 이자율 6 % (0.06 / 12), 25 년 * 12 pa, PV는 $ 150,000, FV는 0, 유형은 다음과 같습니다.

= PMT (0.06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966.45

월별 지불에 대한 대략적인 공식 편집

c ≈ P r 1 − e − nr = P nnr 1 − e − nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {-nr}}}}

보조 변수 정의를 제안합니다.

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

여기 c 0 {\ displaystyle c_ {0}}는 n {\ displaystyle n} 할부로 상환되는 무이자 대출에 필요한 월별 지불액입니다. 이러한 변수와 관련하여 근사치를 작성할 수 있습니다.

c ≈ c 0 Y 1 − e − Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {-Y}} },}

함수 f (Y) ≡ Y 1 − e − Y − Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {-Y}}}-{ \ frac {Y} {2}}}는 짝수입니다.

f (Y) = f (− Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

확장 할 수 있음을 나타냅니다. 짝수 Y {\ displaystyle Y}.

그러면 정의하는 것이 편리 할 것입니다

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

따라서

c ≈ c 0 2 X 1 − e − 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {-2X}}}}

확장 가능 :

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 − 1 45 X 4 +…) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}}-{\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

여기서 줄임표는 X {\ displaystyle X}의 짝수 거듭 제곱에서 더 높은 차수의 항을 나타냅니다. 확장

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ right)}

X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1} 인 경우 1 % 이상 유효합니다.

모기지 지불의 예 편집

모기지 $ 10,000의 경우 30 년의 임기 및 4.5 %의 어음 이율로 매년 지불 할 수 있습니다.

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

그러면

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333.33 (1 + .675 + .675 2 / 3) = $ 608.96 {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333.33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608.96}

투자 : 월 예금 편집

원금 (초기) 예금과 정기 예금이 주어지면 투자의 총 수익은 단위 시간당 얻은 복리를 통해 계산할 수 있습니다. 필요한 경우 추가 비 반복 및 반복 예금에 대한이자도 동일한 공식 내에서 정의 할 수 있습니다 (아래 참조).

P {\ displaystyle P} = 원금 예금 r {\ displaystyle r} = 수익률 ( 매월) M {\ displaystyle M} = 월 예치금, t {\ displaystyle t} = 시간 (개월) M (1 + r) t − 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

두 가지 이상의 예금 유형 (반복 또는 비 반복)이 발생하면 복합 이자는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

M (r + 1) t − 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t − x − 1 r + C (r + 1) t − y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} 여기서 C와 k는 각각 비 반복 및 반복 예금이고 x와 y는 새 예금과 변수 간의 시간 차이입니다. t {\ displaystyle t}는 모델링입니다.