Interesse composto

Composizione periodica Modifica

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P “= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

dove:

P è la somma principale originale P” è la nuova somma principale r è il tasso di interesse annuo nominale n è la frequenza di composizione t è il periodo complessivo di applicazione dellinteresse (espresso utilizzando le stesse unità di tempo di r, solitamente anni).

Linteresse composto totale generato è il valore finale meno il capitale iniziale:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ right) ^ {nt} -P}

Esempio 1Modifica

P ′ = 1500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1938,84 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ approx 1 \, 938.84}

Quindi il nuovo principale P ′ {\ displaystyle P “} dopo 6 anni è di circa $ 1.938,84.

Sottraendo il capitale originale da questo importo si ottiene limporto degli interessi ricevuti:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438,84}

Esempio 2 Modifica

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1921,24 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ volte \ sinistra (1+ ( 0,043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ approx 1 \, 921.24}

Quindi, il saldo dopo 6 anni è di circa $ 1.921,24.

Limporto di linteresse ricevuto può essere calcolato sottraendo il capitale da questo importo.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Linteresse è inferiore rispetto al caso precedente, a causa della minore frequenza di composizione.

Funzione di accumulazione Modifica

Poiché il principale P è semplicemente un coefficiente, viene spesso abbandonato per semplicità e viene invece utilizzata la funzione di accumulazione risultante. La funzione di accumulazione mostra quanto cresce $ 1 dopo un certo periodo di tempo.

Le funzioni di accumulazione per interessi semplici e composti sono

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Se nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, allora queste due funzioni sono le stesse.

Composizione continuaEdit

As n , il numero di periodi di composizione allanno aumenta senza limiti, il caso è noto come composizione continua, nel qual caso il tasso annuo effettivo si avvicina a un limite superiore di er – 1, dove e è una costante matematica che è la base del naturale logaritmo.

La composizione continua può essere pensata come rendere il periodo di composizione infinitamente piccolo, ottenuto prendendo il limite come n va allinfinito. Vedere le definizioni della funzione esponenziale per la dimostrazione matematica di questo limite. La quantità dopo t periodi di composizione continua può essere espressa in termini della quantità iniziale P0 come

P (t) = P 0 e r t. {\ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Forza di interesseModifica

Poiché il numero di periodi di composizione n {\ displaystyle n} raggiunge linfinito nella composizione continua, il tasso di interesse composto continuo è indicato come forza di interesse δ {\ displaystyle \ delta}.

In matematica, le funzioni di accumulazione sono spesso espresse in termini di e, la base del logaritmo naturale. Ciò facilita luso del calcolo per manipolare le formule degli interessi.

Per qualsiasi funzione di accumulazione a (t) differenziabili in modo continuo, la forza di interesse, o più in generale il rendimento logaritmico o composto continuamente è una funzione del tempo definita come segue:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Questa è la derivata logaritmica della funzione di accumulazione.

Al contrario:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (poiché a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; questo può essere visto come un caso particolare di un integrale del prodotto).

Quando la formula sopra è scritta in formato di equazione differenziale, la forza di interesse è semplicemente il coefficiente di quantità di variazione:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Per interesse composto con un tasso di interesse annuo costante r, la forza di interesse è una costante t, e la funzione di accumulazione dellinteresse composto in termini di forza di interesse è un semplice potere di e:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } o a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

La forza di interesse è inferiore al tasso di interesse effettivo annuo, ma superiore allo sconto effettivo annuo Vota. È il reciproco del tempo di piegatura elettronica. Vedere anche la notazione dei tassi di interesse.

Base di composizioneModifica

Per convertire un tasso di interesse da una base di composizione a unaltra base di composizione, usa

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ left {n_ {2}},}

dove1 è il tasso di interesse con frequenza di composizione n1, andr2 è il tasso di interesse con frequenza di composizione n2.

Quando linteresse è composto continuamente, usa

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right)},}

dove δ {\ displaystyle \ delta} è il tasso di interesse su una base di composizione continua, andr è il tasso di interesse dichiarato con una frequenza di composizione n.

Mutuo o mutuo ammortizzato mensile paymentsEdit

Gli interessi sui prestiti e sui mutui ammortizzati, ovvero hanno un pagamento mensile regolare fino a quando il prestito non è stato estinto, sono spesso capitalizzati mensilmente. La formula per i pagamenti si trova dal seguente argomento.

Formula esatta per il pagamento mensileModifica

Una formula esatta per il pagamento mensile (c {\ displaystyle c}) è

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}

o equivalentemente

c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

dove:

c {\ displaystyle c} = pagamento mensile P {\ displaystyle P} = principale r {\ displaystyle r} = tasso di interesse mensile n {\ displaystyle n} = numero di periodi di pagamento

Questo può essere ricavato considerando quanto resta da rimborsare dopo ogni mese.
Il principale rimanente dopo il primo mese è

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

cioè il importo iniziale più interessi meno il pagamento.
Se lintero prestito viene rimborsato dopo un mese,

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, quindi P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

Dopo il secondo mese rimane P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c}, quindi

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Se lintero prestito è stato rimborsato dopo due mesi,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, quindi P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ left (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ right)}

che può essere riorganizzato per dare

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Formula del foglio di calcolo

Nei fogli di calcolo, il PMT ( ) viene utilizzata. La sintassi è:

PMT (interest_rate, number_payments, present_value, future_value,)

Vedi Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Fogli Google per maggiori dettagli.

Ad esempio, per tasso di interesse del 6% (0,06 / 12), 25 anni * 12 pa, PV di $ 150.000, FV di 0, tipo 0 dà:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = $ 966,45

Formula approssimativa per il pagamento mensile Modifica

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ approx {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

che suggerisce di definire variabili ausiliarie

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Qui c 0 {\ displaystyle c_ {0}} è il pagamento mensile richiesto per un prestito a tasso zero rimborsato in n {\ displaystyle n} rate. In termini di queste variabili si può scrivere lapprossimazione

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

La funzione f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – { \ frac {Y} {2}}} è pari:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

implica che può essere espanso in potenze pari di Y {\ displaystyle Y}.

Sarà quindi conveniente definire

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

in modo che

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ approx c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

che può essere espanso:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +…) {\ displaystyle c \ approx c_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

dove i puntini di sospensione indicano termini di ordine superiore in potenze pari di X {\ displaystyle X}. Lespansione

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ left (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ right)}

è valido fino a una percentuale migliore dell1% purché X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Esempio di pagamento del mutuo Modifica

Per un mutuo di $ 10.000 con un termine di 30 anni e un tasso di nota del 4,5%, pagabile annualmente, troviamo:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

che restituisce

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

in modo che

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = $ 333,33 (1 + .675 + .675 2/3) = $ 608,96 {\ displaystyle P \ approx P_ {0} \ sinistra (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333,33 (1 + .675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608,96}

Investimenti: depositi mensiliModifica

Dato un deposito principale (iniziale) e un deposito ricorrente, il rendimento totale di un investimento può essere calcolato tramite linteresse composto guadagnato per unità di tempo. Se necessario, gli interessi su depositi aggiuntivi non ricorrenti e ricorrenti possono anche essere definiti allinterno della stessa formula (vedi sotto).

P {\ displaystyle P} = deposito principale r {\ displaystyle r} = tasso di rendimento ( mensile) M {\ displaystyle M} = deposito mensile et {\ displaystyle t} = tempo, in mesi M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Se si verificano due o più tipi di depositi (ricorrenti o non ricorrenti), il composto linteresse guadagnato può essere rappresentato come

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} dove C e k sono rispettivamente depositi ricorrenti e non ricorrenti e xey sono le differenze di tempo tra un nuovo deposito e qualsiasi variabile t {\ displaystyle t} sta modellando.