Kulcsfogalmak
Matematika
Valószínűség
Statisztika
Bevezetés
valaha észrevette, hogy néha kiderül, hogy ami logikusnak tűnik, egy kis matekkal hamisnak bizonyul? Például szerintetek hány emberre lenne szükség ahhoz, hogy átlagosan felmérjük két embert, akiknek születésnapja ugyanaz? A valószínűség miatt néha egy esemény nagyobb valószínűséggel következik be, mint azt hisszük. Ebben az esetben, ha csak 23 fős véletlenszerű csoportot kérdezünk meg, akkor valójában körülbelül 50–50 az esély arra, hogy kettőjüknek ugyanaz legyen a születésnapja. Ez a születésnapi paradoxon néven ismert. Nem hiszed, hogy igaz? Kipróbálhatja, és megismerheti a matematikai valószínűséget!
Háttér
A születésnapi paradoxon, más néven születésnapi probléma azt állítja, hogy egy 23 fős véletlenszerű csoportban körülbelül 50 százalék az esély. hogy két embernek ugyanaz a születésnapja. Ez valóban igaz? Számos oka van annak, hogy ez paradoxonnak tűnik. Az egyik az, hogy ha egy másik 22 emberrel rendelkező szobában tartózkodik, ha valaki összehasonlítja születésnapját a többi ember születésnapjával, az csak 22 összehasonlítást jelentene – csak 22 esély van arra, hogy az emberek megosszák ugyanazt a születésnapot.
De ha mind a 23 születésnapot összehasonlítjuk egymással, az sokkal több, mint 22 összehasonlítást eredményez. Mennyivel többet? Nos, az első embernek 22 összehasonlítást kell elvégeznie, de a második személyt már összehasonlították az első emberrel, így csak 21 összehasonlításra van szükség. A harmadik személynek ezután 20 összehasonlítása van, a negyediknek 19 és így tovább. Ha összeadja az összes lehetséges összehasonlítást (22 + 21 + 20 + 19 +… +1), az összeg 253 összehasonlítás vagy kombináció. Következésképpen minden 23 fős csoport 253 összehasonlítást, vagy 253 esélyt jelent a születésnapok összehangolására.
Anyagok
• 23 vagy több emberből álló csoportok (10–12 ilyen csoport) vagy véletlenszerű születésnapú forrás (lásd az alábbi előkészítést tippek)
• Papír, toll vagy ceruza
• Számológép (opcionális)
Előkészítés
• Gyűjtsön születésnapokat véletlenszerű, 23 vagy több fős csoportok számára. Ideális esetben 10-12, 23 vagy több fős csoportot kell kapnia, így elegendő csoport van az összehasonlításhoz. (Nem a születésnapokra van szükség, hanem csak a hónapra és a napra.)
• Tipp: Íme néhány módszer, amellyel számos véletlenszerűen csoportosított embert találhat meg: Kérje meg az iskolai tanárokat, hogy adjanak át egy listát mindegyik körül. osztályaikból gyűjtsék össze az osztály tanulóinak születésnapját (az iskolák többségében körülbelül 25 tanuló van egy osztályban); használja a fő bajnokságú baseball csapatok játékosainak születésnapját (ez az információ könnyen megtalálható az interneten); vagy használja a születésnapokat egyéb véletlenszerű emberek online forrásokat használva.
Eljárás
• Minden 23 vagy annál több születésnapot tartalmazó csoport esetében válogassa át őket, hogy lássa, vannak-e születésnapi mérkőzések az egyes csoportokban.
• Hány csoportjaiban két vagy több ember él ugyanazon a születésnapon? A születésnapi paradoxon alapján hány csoportot találna meg, ahol két ember van ugyanabban a születésnapban? Igaz-e a születésnapi paradoxon?
• Extra: Ebben tevékenységhez 23 vagy annál több embert használt, de kipróbálhatta nagyobb csoportokkal is használjon 366 fős csoportot – az éven belül a legtöbb nap lehet – annak az esélye, hogy két embernek ugyanaz a születésnapja, 100 százalékos (kivéve a február 29-i szökőév születésnapját), de mit gondol, milyen esélyek vannak egy csoportban 60 vagy 75 ember?
• Extra: A dobókocka nagyszerű módja a valószínűség vizsgálatának. Megpróbálhat három tíz- és öt hatoldalas dobókockát 100-szor dobni, és rögzítheti az egyes dobások eredményeit. Számítsa ki annak a matematikai valószínűségnek a számát, hogy 18-nál magasabb összeget kap minden egyes kocka kombinációra, amikor 100-szor dobja őket. (Ez a webhely megtanulhatja, hogyan kell kiszámítani a valószínűséget: Valószínűségközpont az Oracle ThinkQuest-től.) Melyik kombinációnak nagyobb a matematikai valószínűsége, és ez igaz volt-e, amikor ezeket forgatta?
Megfigyelések és eredmények
A a 23 vagy több fős csoportok legalább két embert tartalmaznak azonos születésnapokkal?
Ha összehasonlítjuk a valószínűségeket a születésnapokkal, könnyebb megnézni annak valószínűségét, hogy az emberek nem osztanak születésnapot. Egy személy születésnapja a 365 lehetőség közül az egyik (kivéve a február 29-i születésnapokat). Annak a valószínűsége, hogy egy személynek nincs ugyanaz a születésnapja, mint egy másiknak, 364, elosztva 365-tel, mert vannak 364 olyan napok, amelyek nem egy személy születésnapja . Ez azt jelenti, hogy bármely két embernek 364/365, vagyis 99,726027 százalék az esélye, hogy nem egyezik a születésnap.
Amint azt korábban említettük, egy 23 fős csoportban 253 összehasonlítás vagy kombináció létezik, amelyek tenni. Tehát nem csak egy összehasonlítást vizsgálunk, hanem 253 összehasonlítást. A 253 kombináció mindegyikének ugyanaz az esélye, 99,726027 százaléka, hogy nem meccs. Ha 99,726027 százalékot megszoroz 99-rel.726027 253-szor, vagy kiszámolva (364/365) 253, akkor 49,952 százalékos esélyt talál arra, hogy mind a 253 összehasonlítás nem tartalmaz egyezést. Következésképpen annak az esélye, hogy születésnapi mérkőzés van ebben a 253 összehasonlításban, 1 – 49,952 százalék = 50,048 százalék, vagy alig több mint a fele! Minél több próbát futtat, annál közelebb kell a tényleges valószínűséghez közelítenie az 50 százalékot.
További felfedezésre váró
“A születésnapi paradoxon megértése” a BetterExplained oldalán – az Oracle “Probability Central” ThinkQuest
“Kombinációk és permutációk” a MathIsFun-tól – “A születésnapi paradoxon” a Science Barátoktól
Ez a tevékenység a Science Barátokkal együttműködve hozta el Önt