Összetett kamat

Időszakos összetételEdit

P ′ = P (1 + rn) nt {\ displaystyle P “= P \ balra (1 + {\ frac {r} {n}} \ jobbra) ^ {nt}}

ahol:

P az eredeti tőkeösszeg P” az új tőkeösszeg r az n névleges éves kamatláb az összetett gyakoriság, t a kamat alkalmazásának teljes időtartama (ugyanazokkal az időegységekkel kifejezve, mint r, általában évek).

A teljes kamatos kamat a végső érték mínusz a kezdeti tőke:

I = P (1 + rn) nt – P {\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} { n}} \ jobbra) ^ {nt} -P}

1. példa Szerkesztés

P ′ = 1 500 × (1 + 0,043 4) 4 × 6 ≈ 1 938,84 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0.043} {4}} \ right) ^ {4 \ alkalommal 6} \ kb 1 \, 938.84}

Tehát az új P ′ {\ displaystyle P “} után A 6 év hozzávetőlegesen 1938,84 USD.

Ebből az összegből levonva az eredeti tőkét, megkapja a kapott kamat összegét:

1 938,84 – 1 500 = 438,84 {\ displaystyle 1 \, 938,84-1 \, 500 = 438.84}

2. példa Szerkesztés

P ′ = 1 500 × (1 + (0,043 × 2)) 6 2 ≈ 1 921,24 {\ displaystyle P “= 1 \, 500 \ szer \ bal (1+ ( 0,043 \ szor 2) \ jobb) ^ {\ frac {6} {2}} \ kb 1 \, 921.24}

Tehát az egyenleg 6 év után megközelítőleg 1921,24 USD.

Az összeg A kapott kamat kiszámítható a tőke levonásával ebből az összegből.

1 921,24 – 1 500 = 421,24 {\ displaystyle 1 \, 921,24-1 \, 500 = 421 .24}

Az alacsonyabb összetételi gyakoriság következtében az érdeklődés kisebb az előző esethez képest.

Accumulation functionEdit

Mivel a P fő egyszerűen együttható, az egyszerűség kedvéért gyakran elejtik, és helyette a kapott felhalmozási függvényt használják. A felhalmozási függvény megmutatja, mire nő az $ 1 bármilyen hosszú idő után.

Az egyszerű és összetett érdeklődésre vonatkozó felhalmozási függvények

a (t) = 1 + rt {\ displaystyle a (t) = 1 + rt \,} a (t) = (1 + rn) nt {\ displaystyle a (t) = \ balra (1 + {\ frac {r} {n}} \ jobbra) ^ {nt}}

Ha nt = 1 {\ displaystyle nt = 1}, akkor ez a két függvény megegyezik.

Folyamatos összetételEdit

As n , az éves összetételi időszakok száma korlátozás nélkül növekszik, az esetet folyamatos összetételnek nevezik, amely esetben a tényleges éves ráta megközelíti az er – 1 felső határát, ahol e egy matematikai állandó, amely a természetes alapja logaritmus.

A folyamatos összetételről úgy gondolhatunk, hogy az összetételi periódus végtelenül kicsi lesz, ami úgy érhető el, hogy a határt úgy vesszük, hogy az n végtelenbe megy. E határ matematikai bizonyításához lásd az exponenciális függvény definícióit. A folyamatos keverés t periódusok utáni mennyiség kifejezhető a kezdeti P0 mennyiségben:

P (t) = P 0 e r t. {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Érdeklődési erőSzerkesztés

Amint az összesítő periódusok száma n {\ displaystyle n} a folyamatos összetétel során eléri a végtelent, a folyamatos kamatos kamatlábat δ {\ displaystyle \ delta} kamaterőnek nevezzük.

A matematikában a felhalmozási függvényeket gyakran e-ben, a természetes logaritmus bázisaként fejezik ki. Ez megkönnyíti a számítás alkalmazását az érdeklődési képletek manipulálásához.

Bármely folyamatosan differenciálható a (t) felhalmozási függvény esetében a kamaterő vagy általánosabban a logaritmikus vagy folyamatosan összetett hozam az idő függvénye, következik:

δ t = a ′ (t) a (t) = ddt ln ⁡ a (t) {\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {a “(t)} {a (t )}} = {\ frac {d} {dt}} \ ln a (t)}

Ez a felhalmozási függvény logaritmikus származéka.

Fordítva:

a (t ) = e ∫ 0 t δ sds, {\ displaystyle a (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} \ delta _ {s} \, ds} \,} (mivel a (0) = 1 {\ displaystyle a (0) = 1}; ez egy termékintegrál adott esetének tekinthető).

Ha a fenti képletet differenciálegyenlet-formátumban írjuk, akkor az érdekerő egyszerűen a változás mértéke:

da (t) = δ ta (t) dt {\ displaystyle da (t) = \ delta _ {t} a (t) \, dt \,}

Összetett kamat esetén állandó éves r kamatláb, a kamaterő konstans t, és a kamatösszetétel halmozódási függvénye a kamaterõ szempontjából az e egyszerû hatványa:

δ = ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle \ delta = \ ln (1 + r) \, } vagy a (t) = et δ {\ displaystyle a (t) = e ^ {t \ delta} \,}

A kamaterő kisebb, mint az éves effektív kamatláb, de meghaladja az éves effektív kedvezményt mérték. Ez az e-hajtogatási idő reciproka. Lásd még a kamatlábak jelölését.

Összetételalapú szerkesztés

A kamatláb átváltásához egyik összetett alapból másik összetett alapba használja a következőt:

r 2 = n 2, {\ displaystyle r_ {2} = \ balra {n_ {2}},}

ahol1 az n1 összetett frekvenciájú kamatláb, andr2 az n2 összetett frekvenciájú kamatláb.

Ha az érdeklődés folyamatosan növekszik, használja a következőt:

δ = n ln ⁡ (1 + rn), {\ displaystyle \ delta = n \ ln {\ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ jobbra)},}

ahol a δ {\ displaystyle \ delta} a folyamatos kamatláb alapú kamatláb, ésr a megadott kamatláb n összetételi gyakorisággal.

Havi amortizált kölcsön vagy jelzálog paymentsEdit

Az amortizált hitelek és jelzálogkölcsönök kamatai – vagyis havi fizetése zökkenőmentes, amíg a hitelt ki nem fizetik – gyakran havonta növekszik. A fizetési képlet a következő argumentumból található.

Pontos képlet a havi fizetéshezEdit

A havi fizetés pontos képlete (c {\ displaystyle c})

c = P r 1 – 1 (1 + r) n {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}}}}}} p > vagy ekvivalens c = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)} }}}

ahol:

c {\ displaystyle c} = havi fizetés P {\ displaystyle P} = tőke r {\ displaystyle r} = havi kamatláb n {\ displaystyle n} = fizetési időszakok száma

Ez levezethető annak mérlegelésével, hogy mennyi van még hátra minden hónap után.
Az első hónap után fennmaradó megbízó

P 1 = (1 + r) P – c, {\ displaystyle P_ {1} = (1 + r) Pc,}

vagyis a kezdeti összeg plusz kamat, levonva a kifizetést.
Ha a teljes hitelt egy hónap után visszafizetik, akkor

P 1 = 0 {\ displaystyle P_ {1} = 0}, tehát P = c 1 + r {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}}}

A második hónap után P 2 = (1 + r) P 1 – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -c} maradt

P 2 = (1 + r) ((1 + r) P – c) – c {\ displaystyle P_ {2} = (1 + r) ((1 + r) Pc) -c}

Ha a teljes hitelt két hónap után törlesztették,

P 2 = 0 {\ displaystyle P_ {2} = 0}, tehát P = c 1 + r + c (1 + r) 2 {\ displaystyle P = {\ frac {c} {1 + r}} + {\ frac {c} {(1 + r) ^ {2}}}} P = cr (1 – 1 (1 + r) n) {\ displaystyle P = {\ frac {c} {r}} \ balra (1 – {\ frac {1} {(1 + r) ^ {n}}} \ jobbra)}

amely átrendezhető úgy, hogy

c = P r 1 – 1 (1 + r) n = P r 1 – e – n ln ⁡ (1 + r) {\ displaystyle c = {\ frac {Pr} {1 – {\ frac {1} { (1 + r) ^ {n}}}}}} = {\ frac {Pr} {1-e ^ {- n \ ln (1 + r)}}}} Táblázat képlete

A táblázatokban a PMT ( ) függvényt használjuk. A szintaxis a következő:

PMT (kamat_ráta, számfizetések, jelenlegi_érték, jövőbeli_érték,)

További részletekért lásd: Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets.

Például 6% (0,06 / 12) kamatláb, 25 év * 12 év, PV 150 000 USD, FV 0, 0 típus:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0) = 966,45 USD

A havi fizetés hozzávetőleges képleteEdit

c ≈ P r 1 – e – nr = P nnr 1 – e – nr {\ displaystyle c \ kb {\ frac {Pr} {1-e ^ {-nr}}} = {\ frac {P} {n}} {\ frac {nr} {1-e ^ {- nr}}}}

amely segédváltozók meghatározását javasolja

Y ≡ nr = IT {\ displaystyle Y \ equiv nr = IT} c 0 ≡ P n {\ displaystyle c_ {0} \ equiv {\ frac {P} {n}}}.

Itt c 0 {\ displaystyle c_ {0}} az n {\ displaystyle n} részletekben törlesztett nulla kamatozású hitelhez szükséges havi fizetés. Ezeknek a változóknak a alapján a közelítés írható

c ≈ c 0 Y 1 – e – Y, {\ displaystyle c \ kb c_ {0} {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}} },}

Az f (Y) ≡ Y 1 – e – Y – Y 2 {\ displaystyle f (Y) \ equiv {\ frac {Y} {1-e ^ {- Y}}} – {függvény \ frac {Y} {2}}} páros:

f (Y) = f (- Y) {\ displaystyle f (Y) = f (-Y)}

azt jelenti, hogy kibontható Y {\ displaystyle Y} páros hatványaiban.

Akkor kényelmes lesz meghatározni

X = 1 2 Y = 1 2 IT {\ displaystyle X = {\ frac {1} { 2}} Y = {\ frac {1} {2}} IT}

úgy, hogy

c ≈ c 0 2 X 1 – e – 2 X {\ displaystyle c \ kb c_ {0} {\ frac {2X} {1-e ^ {- 2X}}}}

amely kibővíthető:

c ≈ c 0 (1 + X + X 2 3 – 1 45 X 4 +..) {\ displaystyle c \ kb c_ {0} \ balra (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} – {\ frac {1} {45}} X ^ {4} + … \ right)}

ahol az ellipszisek az X páros hatványaiban magasabb rendű kifejezéseket jelölik. A kibővítés

P ≈ P 0 (1 + X + X 2 3) {\ displaystyle P \ kb P_ {0} \ balra (1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {3}} \ jobb)}

1% -nál jobbra érvényes, feltéve, hogy X ≤ 1 {\ displaystyle X \ leq 1}.

Példa a jelzálogfizetés szerkesztésére

10 000 USD jelzálogra 30 éves futamidő és 4,5% -os kamatláb, fizetendő évente:

T = 30 {\ displaystyle T = 30} I = 0.045 {\ displaystyle I = 0.045}

ami

X = 1 2 IT = .675 {\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} IT = .675}

így

P ≈ P 0 (1 + X + 1 3 X 2) = 333,33 USD (1 +, 675 +, 675 2/3) = 608,96 USD {\ displaystyle P \ kb P_ {0} \ bal (1 + X + {\ frac {1} {3}} X ^ {2} \ right) = \ $ 333.33 (1 +, 675 + .675 ^ {2} / 3) = \ $ 608.96}

Befektetés: havi betétekSzerkesztés

Tőke (kezdeti) betét és ismétlődő betét esetén a befektetés teljes hozama kiszámítható az időegységre jutó kamatos kamaton keresztül. Szükség esetén a további egyszeri és ismétlődő betétek kamatai szintén meghatározhatók ugyanazon képleten belül (lásd alább).

P {\ displaystyle P} = Fő betét r {\ displaystyle r} = Megtérülési ráta ( havi) M {\ displaystyle M} = havi befizetés, és t {\ displaystyle t} = idő, hónapokban M (1 + r) t – 1 r + P (1 + r) t {\ displaystyle M {\ frac { (1 + r) ^ {t} -1} {r}} + P (1 + r) ^ {t}}

Ha két vagy több típusú betét fordul elő (akár ismétlődő, akár nem ismétlődő), a vegyület a megszerzett kamat képviselhető:

M (r + 1) t – 1 r + P (r + 1) t + k (r + 1) t – x – 1 r + C (r + 1) t – y {\ displaystyle M {\ frac {(r + 1) ^ {t} -1} {r}} + P (r + 1) ^ {t} + k {\ frac {(r + 1) ^ {tx } -1} {r}} + C (r + 1) ^ {ty}} ahol C és k nem ismétlődő és ismétlődő betétek, és x és y az új betét és bármelyik változó közötti időbeli különbségek t {\ displaystyle t} modellezés.