Az exponenciális eloszlás az egyik széles körben használt folyamatos eloszlás. Gyakran használják az események között eltelt idő modellezésére. Most matematikailag meghatározzuk az exponenciális eloszlást, és levezetjük annak átlagát és várható értékét. Ezután kidolgozzuk a disztribúció intuícióját, és megvitatjuk számos érdekes tulajdonságát.

A 4.5. Ábra az $ \ lambda $ több értékének exponenciális eloszlását mutatja be.

Legyen $ X \ sim Exponential (\ lambda) $. Várható értékét az alábbiak szerint találhatjuk meg, a részek szerinti integráció segítségével:

Most keressük meg a Var $ (X) $ értéket. Megvan

Így, megkapjuk a $$ \ textrm {Var} (X) = EX ^ 2- (EX) ^ 2 = \ frac {2} {\ lambda ^ 2} – \ frac {1} {\ lambda ^ 2} = \ frac { 1} {\ lambda ^ 2}. $$

Az exponenciális eloszlás érdekes tulajdonsága, hogy folyamatos analógként tekinthető meg Ennek megtekintéséhez idézze fel a geometriai eloszlás mögötti véletlenszerű kísérletet: dobál egy érmét (ismételje meg a Bernoulli kísérletet), amíg meg nem figyeli az első fejeket (siker). Most tegyük fel, hogy az érme dobásai $ \ Delta $ másodperc különbséggel, és minden dobásnál a siker valószínűsége $ p = \ Delta \ lambda $. Tegyük fel továbbá, hogy a $ \ Delta $ nagyon kicsi, ezért az érmék dobásai időben nagyon közel vannak egymáshoz, és az egyes kísérletek sikerének valószínűsége nagyon alacsony. Legyen $ X $ az az idő, amikor megfigyeled a fenyőt st siker. A Megoldott problémák részben megmutatjuk, hogy a $ X $ eloszlása konvergál a $ Exponential (\ lambda) $ -hoz, mivel a $ \ Delta $ megközelíti a nullát.

Hogy megértsük az exponenciális eloszlás ezen értelmezését , tegyük fel, hogy egy esemény bekövetkezésére vár. Például Ön egy boltban van, és a következő vásárlót várja. Minden milliszekundumban nagyon kicsi a valószínűsége annak, hogy új vásárló lép be az üzletbe. El lehet képzelni, hogy minden ezredmásodpercben dobnak egy érmét (nagyon kicsi $ P (H) $ -val), és ha fejet ér, új ügyfelek lépnek be. Ha ezredmásodpercenként dobál egy érmét, az új ügyfél megérkezéséig eltelt idő megközelítőleg egy exponenciális eloszlást követ.

Az exponenciál fenti értelmezése hasznos az exponenciális eloszlás tulajdonságainak jobb megértésében. Ezen tulajdonságok közül a legfontosabb, hogy az exponenciális eloszlás memória nélküli. Ehhez gondoljon egy exponenciális véletlen változóra abban az értelemben, hogy sok érmét dobáljon az első fejek megfigyeléséig. Ha többször feldobjuk az érmét, és nem figyeljük meg a fejeket, akkor ez mostantól olyan, mintha újrakezdenénk az egészet. Más szavakkal, a sikertelen érmefeldobások ezentúl nem befolyásolják a várakozási idő eloszlását. Ennek az az oka, hogy az érme-dobások függetlenek. Ezt formálisan a következőképpen állíthatjuk: $$ P (X > x + a | X > a) = P (X > x). $$

A vevő megérkezéséig tartó várakozási idő szempontjából a memória nélküli ingatlan azt jelenti, hogy nem számít, mennyi ideig vártál eddig. Ha a $ a $ időpontig nem figyelt meg egy ügyfelet, akkor a várakozási idő eloszlása ($ a $ időponttól) a következő ügyfélig megegyezik azzal, amelyet akkor kezdett, amikor a nulla időpontban kezdte. Igazoljuk az exponenciális eloszlás memória nélküli tulajdonságát. \ Begin {align}% \ label {} \ nonumber P (X > x + a | X > a) & = \ frac {P \ big (X > x + a, X > a \ big)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {P (X > x + a)} {P (X > a)} \\ \ nonumber & = \ frac {1-F_X (x + a)} {1-F_X (a)} \\ \ nonumber & = \ frac {e ^ { – \ lambda (x + a)}} {e ^ {- \ lambda a}} \\ \ nonumber & = e ^ {- \ lambda x} \\ \ nonumber & = P (X > x). \\ \ end {align}